Сектрикс Маклорена

Сектриса Маклорена: пример с q ₀ = PI /2 и K = 3

В геометрии сектриса Маклорена определяется как кривая , проведенная в точке пересечения двух линий , каждая из которых вращается с постоянной скоростью вокруг разных точек, называемых полюсами . Эквивалентно, сектрису Маклорена можно определить как кривую, уравнение которой в двуугольных координатах является линейным. Название происходит от трисектрисы Маклорена (названной в честь Колина Маклорена ), которая является выдающимся членом семьи, и их свойства сектрикс , что означает, что их можно использовать для разделения угла на заданное количество равных частей. Существуют особые случаи, известные как паукообразные или аранейданы из-за их паукообразной формы, а также кривые Плато в честь Джозефа Плато, который их изучал.

Уравнения в полярных координатах

Нам даны две линии, вращающиеся вокруг двух полюсов. $P$ и $P_{1}$. Путем перевода и вращения мы можем предположить $P=(0,0)$ и $P_{1}=(a,0)$. Во время $t$, линия, вращающаяся вокруг $P$ имеет угол $\theta =\kappa t+\alpha$ и линия, вращающаяся вокруг $P_{1}$ имеет угол $\theta _{1}=\kappa _{1}t+\alpha _{1}$, где $\kappa$, $\alpha$, $\kappa _{1}$ и $\alpha _{1}$ являются константами. Устранять $t$ получить $\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}$ где $q=\kappa _{1}/\kappa$ и $\theta _{0}=\alpha _{1}-q\alpha$. Мы предполагаем $q$ рациональна, иначе кривая не является алгебраической и плотна на плоскости. Позволять $Q$ быть точкой пересечения двух прямых и пусть $\psi$ быть углом в $Q$, так $\psi =\theta _{1}-\theta$. Если $r$ это расстояние от $P$ к $Q$ тогда по синусов закону

${r \over \sin \theta _{1}}={a \over \sin \psi }\!$

так

$r=a{\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \psi }}=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}\!$

— уравнение в полярных координатах.

Дело $\theta _{0}=0$ и $q=n$ где $n$ целое число больше 2 дает кривые паукообразных или аранейданов.

$r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n-1)\theta }}\!$

Дело $\theta _{0}=0$ и $q=-n$ где $n$ целое число больше 1 дает альтернативные формы кривых паукообразных или аранейданов.

$r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n+1)\theta }}\!$

Вывод, аналогичный приведенному выше, дает

$r_{1}=(-a){\frac {\sin[(1/q)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}{\sin[(1/q-1)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}}\!$

как полярное уравнение (в $r_{1}$ и $\theta _{1}$), если начало координат сдвинуто вправо на $a$. Обратите внимание, что это более раннее уравнение с изменением параметров; этого следует ожидать, исходя из того факта, что два полюса взаимозаменяемы при построении кривой.

Уравнения на комплексной плоскости, прямоугольные координаты и ортогональные траектории

Позволять $q=m/n$ где $m$ и $n$ являются целыми числами, а дробь выражается в наименьших выражениях. В обозначениях предыдущего раздела имеем $\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}$ или $n\theta _{1}=m\theta +n\theta _{0}$. Если $z=x+iy$ затем $\theta =\arg(z),\ \theta _{1}=\arg(z-a)$, поэтому уравнение принимает вид $n\ \arg(z-a)=m\ \arg(z)+n\ \theta _{0}$ или $m\ \arg(z)-n\ \arg(z-a)=\arg(z^{m}(z-a)^{-n})=const$. Это также можно написать

${\frac {\operatorname {Re} (z^{m}(z-a)^{-n})}{\operatorname {Im} (z^{m}(z-a)^{-n})}}=const.$

из которого относительно просто вывести декартово уравнение с учетом m и n. Функция $w=z^{m}(z-a)^{-n}$ аналитичен, поэтому ортогональные траектории семейства $arg(w)=const.$ кривые $|w|=const$, или ${\frac {|z|^{m}}{|z-a|^{n}}}=const.$

Параметрические уравнения

Позволять $q=m/n$ где $m$ и $n$ являются целыми числами, и пусть $\theta =np$ где $p$ является параметром. Затем преобразование приведенного выше полярного уравнения в параметрические уравнения дает

$x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!$.

Применение правила сложения углов для синуса дает

$x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}=a+a{\frac {\cos[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}={a \over 2}+{a \over 2}{\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!$.

Таким образом, если начало координат сдвинуто вправо на a/2, то параметрические уравнения будут иметь вид

$x={a \over 2}\cdot {\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!$.

Это уравнения для кривых Плато, когда $\theta _{0}=0$, или

$x={a \over 2}{\frac {\sin(m+n)p}{\sin(m-n)p}},y=a{\frac {\sin mp\sin np}{\sin(m-n)p}}\!$.

Инверсивные тройки

Обратное . по отношению к кругу с радиусом a и центром в начале координат

$r=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}$

является

$r=a{\frac {\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}{\sin[q\theta +\theta _{0}]}}=a{\frac {\sin[(1-q)\theta -\theta _{0}]}{\sin[((1-q)-1)\theta -\theta _{0}]}}$.

Это еще одна кривая в семье. Инверсия по отношению к другому полюсу дает еще одну кривую из того же семейства, и две инверсии, в свою очередь, являются инверсиями друг друга. Следовательно, каждая кривая семейства является членом тройки, каждая из которых принадлежит семейству и является инверсией двух других. Значения q в этом семействе равны

$q,\ {\frac {1}{q}},\ 1-q,{\frac {1}{1-q}},\ {\frac {q-1}{q}},\ {\frac {q}{q-1}}$.

Свойства сектрикса

Позволять $q=m/n$ где $m$ и $n$ являются целыми числами в наименьших терминах и предполагают $\theta _{0}$ можно построить с помощью циркуля и линейки . (Значение $\theta _{0}$ на практике обычно равен 0, так что обычно это не проблема.) Пусть $\varphi$ — заданный угол и предположим, что сектриса Маклорена проведена с помощью полюсов $P$ и $P_{1}$ согласно конструкции выше. Построить луч из $P_{1}$ под углом $\varphi +\theta _{0}$ и пусть $Q$ быть точкой пересечения луча и сектрисы и нарисовать $PQ$. Если $\theta$ это угол этой линии, тогда

$\varphi +\theta _{0}=\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}$

так $\theta ={\frac {n\varphi }{m}}$. Путем неоднократного вычитания $\theta$ и $\varphi$ друг от друга, как и в алгоритме Евклида , угол $\varphi /m$ можно построить. Таким образом, кривая представляет собой m -сектрису, а это означает, что с помощью кривой произвольный угол можно разделить на любое целое число. Это обобщение понятия трисектрисы , примеры которого можно найти ниже.

Теперь нарисуйте луч с углом $\varphi$ от $P$ и $Q'$ быть точкой пересечения этого луча с кривой. Угол $P'Q'$ является

$\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}=q\varphi +\theta _{0}$

и вычитание $\theta _{0}$ дает угол

$q\varphi ={\frac {m\varphi }{n}}$.

Повторное применение алгоритма Евклида дает угол $\varphi /n$ показывая, что кривая также является n -сектрисой.

Наконец, нарисуйте луч из $P$ с углом $\pi /2-\varphi -\theta _{0}$ и луч из $P'$ с углом $\pi /2+\varphi +\theta _{0}$, и пусть $C$ быть точкой пересечения. Эта точка находится на серединном перпендикуляре $PP'$ Итак, есть круг с центром $C$ содержащий $P$ и $P'$. $\angle PCP'=2(\varphi +\theta _{0})$ поэтому любая точка окружности образует угол $\varphi +\theta _{0}$ между $P$ и $P'$. (Фактически это один из аполлоновых кругов Р и Р ' .) Пусть $Q''$ быть точкой пересечения этого круга и кривой. Затем $\varphi +\theta _{0}=\angle PQ''P'=\psi =\theta _{1}-\theta =(q-1)\theta +\theta _{0}$ так

$\varphi ={\frac {(m-n)\theta }{n}},\ \theta ={\frac {n\varphi }{m-n}}$.

Применение алгоритма Евклида в третий раз дает угол $\varphi /(m-n)$, показывая, что кривая является ( m − n также )-сектрисой.

Конкретные случаи

д = 0

Это кривая

$r=a{\frac {\sin \theta _{0}}{\sin(-\theta +\theta _{0})}}$

это линия через $(a,0)$.

д = 1

Это круг, содержащий начало координат и $(a,0)$. Имеет полярное уравнение

$r=a{\frac {\sin(\theta +\theta _{0})}{\sin \theta _{0}}}$.

Это обратное относительно начала случая q = 0. Ортогональными траекториями семейства окружностей является семейство ${\frac {|z-a|}{|z|}}=const.$ Они образуют аполлонические круги с полюсами. $(0,0)$ и $(a,0)$.

q = -1

Эти кривые имеют полярное уравнение

$r=a{\frac {\sin(-\theta +\theta _{0})}{\sin(-2\theta +\theta _{0})}}$,

сложное уравнение $arg(z(z-a))=const.$ В прямоугольных координатах это становится $x^{2}-y^{2}-x=c(2xy-y)$ что является коникой. Из полярного уравнения видно, что кривые имеют асимптоты при $\theta =\theta _{0}/2$ и $\theta _{0}/2+\pi /2$ которые находятся под прямым углом. Таким образом, коники на самом деле представляют собой прямоугольные гиперболы. Центр гиперболы всегда $(a/2,0)$. Ортогональные траектории этого семейства имеют вид $|z||z-a|=c$ которое представляет собой семейство овалов Кассини с фокусами $(0,0)$ и $(a,0)$.

Трисектриса Маклорена

В случае, когда $q=3$ (или $q=1/3$ путем переключения полюсов) и $\theta _{0}=0$, уравнение

$r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Это трисектриса Маклорена , частный случай, обобщением которого является сектриса Маклорена. Приведенная выше конструкция дает метод, позволяющий использовать эту кривую как трисектрису.

Лимасон трисектрикс и роза

В случае, когда $q=3/2$ (или $q=2/3$ путем переключения полюсов) и $\theta _{0}=0$, уравнение

$r=a{\frac {\sin {\tfrac {3}{2}}\theta }{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}=a(3\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta )=a(1+2\cos \theta )$.

Это трисектриса Лимасона .

Уравнение, начало координат которого принимается за другой полюс, представляет собой розовую кривую, имеющую ту же форму.

$r=-a{\frac {\sin {\tfrac {2}{3}}\theta }{\sin -{\tfrac {1}{3}}\theta }}=2a\cos {\tfrac {1}{3}}\theta$.

3 в числителе q и приведенная выше конструкция дают метод, позволяющий использовать кривую как трисектрису.

Ссылки

• «Сектор Маклорена» в Энциклопедии замечательных математических форм (на французском языке)
• Вайсштейн, Эрик В. «Арахнида» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривые плато» . Математический мир .