Раковина де Слюза

Раковина де Слюза для нескольких значений a

В алгебраической геометрии раковины де Слюза — семейство плоских кривых, изученное в 1662 году валлонским математиком Рене Франсуа Вальтером , бароном де Слюза.

Кривые определяются полярным уравнением

$r=\sec \theta +a\cos \theta \,.$

В декартовых координатах кривые удовлетворяют неявному уравнению

$(x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,$

за исключением того, что для a = 0 неявная форма имеет акнод ( 0,0), которого нет в полярной форме.

Это рациональные , круговые , кубические плоские кривые .

Эти выражения имеют асимптоту x = 1 (при a ≠ 0 ). Точка, наиболее удаленная от асимптоты, равна (1 + a , 0) . (0,0) является крюнодой при a < −1 .

Площадь между кривой и асимптотой при a ≥ −1 равна

$|a|(1+a/4)\pi \,$

в то время как для a < −1 площадь равна

$\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.$

Если a < −1 , кривая будет иметь петлю. Площадь петли равна

$\left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.$

У четырех членов семьи есть собственные имена:

• a = 0 , линия (асимптота остального семейства)
• a = −1 , циссоида Диокла
• a = −2 , правый строфоид
• a = −4 , трисектриса Маклорена