Линейное приближение

Касательная линия в точке ( a , f ( a ))

В математике — линейная аппроксимация это приближение общей функции с помощью линейной функции (точнее, аффинной функции ). Они широко используются в методе конечных разностей для создания методов первого порядка решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция $f$ одной действительной переменной, теорема Тейлора для случая $n=1$ заявляет, что $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$ где $R_{2}$ является остаточным членом. Линейное приближение получается отбрасыванием остатка: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$

Это хорошее приближение, когда $x$ достаточно близко к $a$ ; поскольку кривая при внимательном рассмотрении начнет напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части — это просто уравнение касательной к графику $f$ в $(a,f(a))$ . По этой причине этот процесс также называют аппроксимацией касательной линии . Линейные приближения в этом случае дополнительно улучшаются, когда вторая производная от a, $f''(a)$ , достаточно мала (близка к нулю) (т. е. находится в точке перегиба или вблизи нее ).

Если $f$ вогнута вниз в промежутке между $x$ и $a$ , приближение будет завышенным (поскольку производная убывает в этом интервале). Если $f$ вогнута вверх , то приближение будет заниженным. ^[1]

линейные аппроксимации вектор- Аналогично получаются функций векторной переменной с заменой производной в точке матрицей Якоби . Например, если задана дифференцируемая функция $f(x,y)$ с реальными значениями можно аппроксимировать $f(x,y)$ для $(x,y)$ близко к $(a,b)$ по формуле $f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

Правая часть представляет собой уравнение плоскости, касательной к графику $z=f(x,y)$ в $(a,b).$

В более общем случае банаховых пространств имеем $f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$ где $Df(a)$ является Фреше производной $f$ в $a$ .

Приложения

Оптика

Гауссова оптика — это метод геометрической оптики , который описывает поведение световых лучей в оптических системах с использованием параксиального приближения , в котором рассматриваются только лучи, составляющие малые углы с оптической осью системы. ^[2] В этом приближении тригонометрические функции можно выразить как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы . В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображений, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материала составляющих элементов.

Период колебаний

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , местной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, $θ 0$ , называемого амплитудой . ^[3] Это не зависит от массы боба. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. маятник ), одним из примеров является бесконечный ряд : ^[4]^[5] $T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$

где L — длина маятника, а g — местное ускорение силы тяжести .

Однако если принять линейное приближение (т.е. если амплитуда ограничена небольшими колебаниями, ^{[Примечание 1]} ) период : ^[6]

T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1

( 1 )

В линейном приближении период колебаний примерно одинаков для колебаний разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронизмом , является причиной того, что маятники так полезны для измерения времени. ^[7] Последовательные колебания маятника, даже если они меняют амплитуду, занимают одинаковое количество времени.

Электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов меняется с температурой. Если температура T не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение: $\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]$ где $\alpha$ называется температурным коэффициентом удельного сопротивления , $T_{0}$ — фиксированная эталонная температура (обычно комнатная температура), а $\rho _{0}$ сопротивление при температуре $T_{0}$ . Параметр $\alpha$ — эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение — это всего лишь приближение, $\alpha$ различна для разных эталонных температур. По этой причине обычно указывают температуру, $\alpha$ измерялся с суффиксом, например $\alpha _{15}$ , и эта зависимость сохраняется только в диапазоне температур около эталонного. ^[8] Когда температура варьируется в широком диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и необходимо использовать более детальный анализ и понимание.

См. также

Примечания

^ «Маленькое» колебание - это такое, при котором угол θ достаточно мал, чтобы sin (θ) можно было аппроксимировать θ, когда θ измеряется в радианах.

Ссылки

^ «12.1 Оценка значения функции с помощью линейной аппроксимации» . Проверено 3 июня 2012 г.
^ Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 51. ИСБН 978-0-521-49345-1 .
^ Милхэм, Уиллис И. (1945). Время и хронометристы . Макмиллан. стр. 188–194. ОСЛК 1744137 .
^ Нельсон, Роберт; М.Г. Олссон (февраль 1987 г.). «Маятник – богатая физика из простой системы» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (2): 112–121. Бибкод : 1986AmJPh..54..112N . дои : 10.1119/1.14703 . S2CID 121907349 . Проверено 29 октября 2008 г.
^ Беккет, Эдмунд; и еще три (1911 г.). «Часы» . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 06 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 534–553, см. стр. 538, второй абзац. Маятник. — включает вывод
^ Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 381 . ISBN 0-471-14854-7 .
^ Купер, Герберт Дж. (2007). Научные инструменты . Нью-Йорк: Хатчинсон. п. 162. ИСБН 978-1-4067-6879-4 .
^ Уорд, MR (1971). Электротехнические науки . МакГроу-Хилл. стр. 36–40. ISBN 0-07-094255-2 .

Дальнейшее чтение

Вайнштейн, Алан; Марсден, Джеррольд Э. (1984). Исчисление III . Берлин: Springer Verlag. п. 775. ИСБН 0-387-90985-0 .
Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Колледж Уэлсли. п. 94. ИСБН 0-9614088-2-0 .
Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к расчету AP . Хауппож, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п. 118 . ISBN 0-7641-2382-3 .

[6] «Маленькое» колебание - это такое, при котором угол θ достаточно мал, чтобы sin (θ) можно было аппроксимировать θ, когда θ измеряется в радианах.

[1] «12.1 Оценка значения функции с помощью линейной аппроксимации» . Проверено 3 июня 2012 г.

[2] Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 51. ИСБН 978-0-521-49345-1 .

[Milham1945-3] Милхэм, Уиллис И. (1945). Время и хронометристы . Макмиллан. стр. 188–194. ОСЛК 1744137 .

[Nelson-4] Нельсон, Роберт; М.Г. Олссон (февраль 1987 г.). «Маятник – богатая физика из простой системы» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (2): 112–121. Бибкод : 1986AmJPh..54..112N . дои : 10.1119/1.14703 . S2CID 121907349 . Проверено 29 октября 2008 г.

[5] Беккет, Эдмунд; и еще три (1911 г.). «Часы» . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 06 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 534–553, см. стр. 538, второй абзац. Маятник. — включает вывод

[7] Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 381 . ISBN 0-471-14854-7 .

[8] Купер, Герберт Дж. (2007). Научные инструменты . Нью-Йорк: Хатчинсон. п. 162. ИСБН 978-1-4067-6879-4 .

[9] Уорд, MR (1971). Электротехнические науки . МакГроу-Хилл. стр. 36–40. ISBN 0-07-094255-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[Примечание 1]

[6]

[7]

[8]