Геометрия

«Геометрия» была опубликована в 1637 году как приложение к » « Рассуждению о методе , написанному Рене Декартом . В «Рассуждении» Декарт представляет свой метод достижения ясности по любому вопросу. «Геометрия» и два других приложения, также написанные Декартом, «Диоптрика» ( Оптика ) и «Метеорология» ( Метеорология ), были опубликованы вместе с « Рассуждением», чтобы дать примеры успехов, которых он достиг, следуя своему методу. (а также, возможно, учитывая современный европейский социальный климат интеллектуальной конкуренции, чтобы немного похвастаться перед более широкой аудиторией).

Геометрия

В работе впервые была предложена идея объединения алгебры и геометрии в единый предмет. и изобрел алгебраическую геометрию, названную аналитической геометрией , которая включает в себя сведение геометрии к форме арифметики и алгебры и перевод геометрических фигур в алгебраические уравнения . Для своего времени это был прорыв. Он также способствовал развитию математических идей Лейбница и Ньютона и, таким образом, сыграл важную роль в развитии исчисления.

Текст

Это приложение разделено на три «книги».

Книга I называется « Задачи, которые можно построить только с помощью окружностей и прямых линий». В этой книге он вводит алгебраическую систему обозначений, которая используется до сих пор. Буквы в конце алфавита, а именно x , y , z и т. д., обозначают неизвестные переменные, а буквы в начале алфавита a , b , c и т. д. обозначают константы. Он вводит современную экспоненциальную запись степеней (за исключением квадратов, где он сохранил старую традицию написания повторяющихся букв, например, аа ). Он также порывает с греческой традицией связывания степеней с геометрическими референтами . ² с площадью, а. ³ с объемом и т. д., и рассматривает их все как возможные длины отрезков линии. Эти средства записи позволяют ему описывать ассоциации чисел с длинами отрезков линий, которые можно построить с помощью линейки и циркуля . Большую часть оставшейся части книги занимает решение Декарта «проблемы локуса Паппа ». Согласно Паппу, при наличии трех или четырех прямых на плоскости задача состоит в том, чтобы найти геометрическое место точки, которая движется так, чтобы произведение расстояний от двух фиксированных линий (вдоль заданных направлений) было пропорционально квадрату расстояние до третьей линии (в случае трех строк) или пропорционально произведению расстояний до двух других строк (в случае четырех строк). Решая эти задачи и их обобщения, Декарт принимает два отрезка как неизвестные и обозначает их x и y . Известные отрезки линий обозначаются a , b , c и т. д. Зарождение идеи декартовой системы координат восходит к этой работе.

Во второй книге, названной «О природе кривых линий» , Декарт описал два вида кривых, названных им геометрическими и механическими . Геометрическими кривыми называют те, которые сейчас описываются алгебраическими уравнениями с двумя переменными, однако Декарт описывал их кинематически и существенной особенностью было то, что все их точки можно было получить путем построения из кривых более низкого порядка. Это представляло собой расширение того, что было разрешено конструкциями линейки и циркуля. Другие кривые, такие как квадратриса и спираль , где можно было построить только некоторые точки, назывались механическими и не считались подходящими для математического исследования. Декарт также разработал алгебраический метод нахождения нормали в любой точке кривой, уравнение которой известно. Затем легко следует построение касательных к кривой, и Декарт применил эту алгебраическую процедуру для нахождения касательных к нескольким кривым.

Третья книга « О построении задач о твердом и сверхтвердом » носит скорее алгебраический, чем геометрический характер, и посвящена природе уравнений и способам их решения. Он рекомендует расположить все члены уравнения в одной стороне и установить равным 0, чтобы облегчить решение. Он указывает на факторную теорему для многочленов и дает интуитивное доказательство того, что многочлен степени n имеет n корней. Он систематически обсуждал отрицательные и мнимые корни. уравнений и явно использовал то, что сейчас известно как правило знаков Декарта .

Последствия

Декарт написал «Геометрию» на французском языке, а не на латыни, на языке большинства научных публикаций того времени. Стиль его изложения был далеко не ясен, материал не был систематизирован, и он обычно лишь давал указания на доказательства, оставляя многие детали читателю. На его отношение к писательству указывают часто встречающиеся высказывания типа «Я не брался сказать все» или «Мне уже надоело так много об этом писать». Декарт оправдывает свои упущения и неясности замечанием, что многое было упущено намеренно, «чтобы доставить другим удовольствие открыть [это] самостоятельно».

Декарту часто приписывают изобретение координатной плоскости, поскольку в его книге были соответствующие концепции. однако нигде в «Геометрии» не появляется современная прямоугольная система координат. Это и другие улучшения были добавлены математиками, которые взяли на себя задачу прояснить и объяснить работу Декарта.

Это усовершенствование работы Декарта было прежде всего осуществлено Франсом ван Скутеном , профессором математики в Лейдене и его студентами. Ван Скутен опубликовал латинскую версию «Геометрии» в 1649 году, за ней последовали еще три издания в 1659–1661, 1683 и 1693 годах. Издание 1659–1661 годов представляло собой двухтомный труд, объем которого более чем в два раза превышал объем оригинала, наполненный пояснениями и примеры, предоставленные ван Скутеном и этими студентами. Один из этих студентов, Йоханнес Худде, предложил удобный метод определения двойных корней многочлена, известный как правило Худде , который был сложной процедурой в методе касательных Декарта. Эти издания утвердили аналитическую геометрию в семнадцатом веке.

См. также

• Клод Рабуэль

Ссылки

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN  978-0-486-43832-0
• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN  978-0-07-338315-6
• Декарт, Рене (2006) [1637]. Рассуждение о методе правильного ведения разума и поиска истины в науках . Перевод Яна Маклина. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-282514-3 .

Дальнейшее чтение

• Грошхольц, Эмили (1998). «Глава 4: Декартов метод и геометрия » . В Жорже Ж. Д. Мойале (ред.). Рене Декарт: критические оценки . Рутледж. ISBN  0-415-02358-0 .
• Хокинг, Стивен В. (2005). «Рене Декарт» . Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю . Беговой пресс. стр. 285 и далее . ISBN  0-7624-1922-9 .
• Серфати, М. (2005). «Глава 1: Рене Декарт, Геометрия, латинское издание (1649 г.), французское издание (1637 г.)» . В И. Граттан-Гиннесс; Роджер Кук (ред.). Знаковые сочинения в западной математике 1640-1940 гг . Эльзевир. ISBN  0-444-50871-6 .
• Смит, Дэвид Э.; Латам, М.Л. (1954) [1925]. Геометрия Рене Декарта . Дуврские публикации. ISBN  0-486-60068-8 .

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с «Геометрией» , в Wikiquote
• Копия «Геометрии» проекта «Гутенберг»
• Плохое распознавание текста: копия книги «Геометрия» из библиотеки Корнеллского университета.
• Archive.org: Геометрия Рене Декарта
• Факсимиле (фр.): Геометрия