Директорский круг

В геометрии эллипса направляющая окружность или перпендикулярные гиперболы ( также называемая ортоптической окружностью или окружностью Ферма-Аполлония ) представляет собой окружность, состоящую из всех точек, в которых две касательные к эллипсу или гиперболе пересекают друг друга.

Характеристики

Направляющая окружность эллипса описывает минимальную ограничивающую рамку эллипса. Он имеет тот же центр, что и эллипс, но радиус ${\textstyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ , где $a$ и $b$ — большая полуось и малая полуось эллипса. Кроме того, эллипс обладает тем свойством, что если смотреть из любой точки круга, эллипс образует прямой угол . ^[1]

Направляющая окружность гиперболы имеет радиус ${\textstyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ , и поэтому может не существовать в евклидовой плоскости , но может быть кругом с мнимым радиусом в комплексной плоскости .

Направляющая окружности – это концентрическая окружность, имеющая радиус ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ раз больше радиуса исходного круга.

Обобщение

более общем смысле, для любого набора точек $, Pi$ весов $wi В$ и константы $C$ можно определить круг как геометрическое место точек $X$ таких, что $\sum _{i}w_{i}\,d(X,P_{i})^{2}=C.$

Направляющая окружность эллипса является частным случаем этой более общей конструкции с двумя точками $P 1$ и $P 2$ в фокусах эллипса, весами $w 1 = w 2 = 1$ и $C$ , равными квадрату большой оси эллипса. эллипс. Круг Аполлония , геометрическое место точек $X,$ такое, что отношение расстояний $X$ до двух фокусов $P 1$ и $P 2$ является фиксированной константой $r$ , является еще одним частным случаем, где $w 1 = 1$ , $w 2 = - r 2$ , и $С = 0$ .

Связанные конструкции

В случае параболы направляющая окружность вырождается в прямую, направляющую параболы. ^[2]

Примечания

^ Акопян и Заславский 2007 , стр. 12–13.
^ Фолкнер 1952 , с. 83

Ссылки

Акопян А.В.; Заславский А.А. (2007), Геометрия коник , Математический мир, т. 1, с. 26, Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4323-9
Кремона, Луиджи (1885), Элементы проективной геометрии , Оксфорд: Clarendon Press, стр. 369
Фолкнер, Т. Юэн (1952), Проективная геометрия , Эдинбург и Лондон: Оливер и Бойд
Хоксворт, Алан С. (1905), «Некоторые новые соотношения конических кривых», The American Mathematical Monthly , 12 (1): 1–8, doi : 10.2307/2968867 , JSTOR 2968867 , MR 1516260
Лони, Сидни Люкстон (1897), Элементы координатной геометрии , Лондон: Macmillan and Company, Limited, стр. 365
Вентворт, Джордж Альберт (1886), Элементы аналитической геометрии , Ginn & Company, стр. 150

[1] Акопян и Заславский 2007 , стр. 12–13.

[2] Фолкнер 1952 , с. 83

[1]

[2]