Круглые точки на бесконечности

В проективной геометрии круговые точки на бесконечности (также называемые циклическими точками или изотропными точками ) — это две особые точки на бесконечности на комплексной проективной плоскости , которые содержатся в комплексификации каждой реальной окружности .

Точка комплексной проективной плоскости может быть описана в терминах однородных координат , представляя собой тройку комплексных чисел ( x : y : z ) , где две тройки описывают одну и ту же точку плоскости, когда координаты одной тройки совпадают с координатами одной тройки. у другого, за исключением того, что они умножаются на один и тот же ненулевой коэффициент. В этой системе бесконечно удаленными точками можно выбрать те, у которых координата z равна нулю. Две круговые точки на бесконечности — это две из них, которые обычно считаются точками с однородными координатами.

(1: я: 0) и (1: - я: 0) .

Трилинейные координаты

Пусть А. ​ Б. ​ C — размеры углов при вершинах опорного треугольника ABC. Тогда трилинейные координаты круговых точек, находящихся на бесконечности в плоскости опорного треугольника, будут такими, как указано ниже:

$-1:\cos C-i\sin C:\cos B+i\sin B,\qquad -1:\cos C+i\sin C:\cos B-i\sin B$

или, что то же самое,

$\cos C+i\sin C:-1:\cos A-i\sin A,\qquad \cos C-i\sin C:-1:\cos A+i\sin A$

или, опять же то же самое,

$\cos B+i\sin B:\cos A-i\sin A:-1,\qquad \cos B-i\sin B:\cos A+i\sin A:-1,$

где $i={\sqrt {-1}}$.

Комплексифицированные круги

Реальный круг, определяемый его центральной точкой ( x ₀ , y ₀ ) и радиусом r (все три из которых являются действительными числами ), может быть описан как набор действительных решений уравнения

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.$

Преобразование этого уравнения в однородное уравнение и взятие набора всех решений комплексных чисел дает комплексификацию круга. Две круговые точки получили свое название потому, что они лежат в комплексе каждой реальной окружности. В более общем смысле обе точки удовлетворяют однородным уравнениям типа

$Ax^{2}+Ay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.$

Случай, когда все коэффициенты действительны, дает уравнение общей окружности (вещественной проективной плоскости ). В общем, алгебраическая кривая , проходящая через эти две точки, называется круговой .

Дополнительные свойства

Круглые точки на бесконечности — это точки на бесконечности изотропных линий . Они инвариантны относительно перемещений и вращений плоскости.

Понятие угла можно определить с помощью круговых точек, натурального логарифма и перекрестного отношения :

Угол между двумя линиями представляет собой определенное кратное логарифму поперечного отношения карандаша, образованного двумя линиями и линиями, соединяющими их пересечение с круговыми точками.

Соммервилль настраивает две линии в начале координат как $u:y=x\tan \theta ,\quad u':y=x\tan \theta '.$ Обозначая круговые точки как ω и ω′, он получает перекрестное отношение

$(uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\tan \theta '+i}},$ так что

$\phi =\theta '-\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu',\omega \omega ').$

Ссылки

• Пьер Самуэль (1988) Проективная геометрия , Springer, раздел 1.6;
• Семпл и Нибоун (1952) Алгебраическая проективная геометрия , Оксфорд, раздел II-8.