Триасовый период

Траирашика — это санскритский термин, используемый индийскими астрономами и математиками досовременной эпохи для обозначения того, что известно как « правило трёх » в элементарной математике и алгебре. В современной математической литературе термин «правило трех» относится к принципу перекрестного умножения, который гласит, что если ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ затем $ad=bc$ или $a={\tfrac {bc}{d}}$. Древность термина трайрасика подтверждается его присутствием в рукописи Бахшали , документе, который, как полагают, был составлен в первые века нашей эры.

Правило трайрасика ​

По сути, траирашика – это правило, которое помогает решить следующую задачу:

"Если $p$ производит $h$ что бы $i$ производить?"

Здесь $p$ упоминается как прамана («аргумент»), $h$ как пхала («фрукты») и $i$ как ичча («реквизиция»). Прамана должны быть одного и того же наименования, то есть одного и того же вида или типа , и ичча как вес, деньги, время или количество одних и тех же объектов. Пхала может быть разного номинала. Также предполагается, что пхала увеличивается пропорционально прамане . Неизвестная величина называется иччха-пхала , то есть пхала , соответствующая ичча . Арьябхата предлагает следующее решение проблемы:

«В трайрашике пхала , а затем умножается на ичча делится на прамана . Результатом является ичча-пхала ».

В современных математических обозначениях ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}.$

Четыре величины можно представить в ряд следующим образом:

прамана | пхала | ичка | иччха-пхала (неизвестно)

Тогда правило получения иччха-пхала можно сформулировать так: «Умножьте средние два и разделите на первое».

Наглядные примеры

1. Этот пример взят из Биджаганиты , трактата по алгебре индийского математика Бхаскары II (ок. 1114–1185).

две с половиной палы (денежной единицы ) получить Задача: «Если за три седьмых нишки (единицы веса ) шафрана, то скажи сейчас же, лучший из купцов, сколько получается за девять нишек — s?"

Решение: прамана = ${\tfrac {3}{7}}$ нишка , пхала = $2{\tfrac {1}{2}}$ пала -с шафрана, ичча = $9$ nishca -s и нам нужно найти иччха-пхала . ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}={\tfrac {(2{\tfrac {1}{2}})\times 9}{\tfrac {3}{7}}}=52{\tfrac {1}{2}}$ пала -с шафрана.

2. Этот пример взят из «Юктибхаши» , труда по математике и астрономии, написанного Джьестхадевой из школы астрономии и математики Кералы около 1530 года.

Задача: «Если известно, что из 5 мер риса можно получить 2 меры риса, сколько мер риса получится из 12 мер риса?»

Решение: прамана = 5 мер риса, пхала = 2 меры риса, ичча = 12 мер риса, и нам нужно найти иччха-пхала . ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}={\tfrac {2\times 12}{5}}={\tfrac {24}{5}}$ мерки риса.

Вьяста-трайрасика : обратное правило трех.

Четыре величины, связанные с траирашикой, представлены подряд следующим образом:

прамана | пхала | ичка | иччха-пхала (неизвестно)

В трайрашике предполагалось, что пхала увеличивается с праманой . Если предположить, что пхала уменьшается с увеличением праманы , правило нахождения иччха-пхала называется вьяста-трайрасика (или вилома-трайрасика ) или «обратное правило трех». В вьяста-трайрашике правило нахождения иччха-пхала можно сформулировать следующим образом, предполагая, что соответствующие количества записаны в ряд, как указано выше.

«В трех известных величинах умножьте средний член на первый и разделите на последний».

В современных математических обозначениях мы имеем: ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{pramāṇa}}}{\text{icchā}}}.$

Показательный пример

Этот пример взят из Биджаганиты :

Задача: «Если рабыня шестнадцати лет принесет тридцать две нишки , то сколько будет стоить двадцатилетняя?»

Решение: прамана = 16 лет, пхала 32 = нишка -с, ичча = 20 лет. Предполагается, что пхала уменьшается с увеличением праманы . Следовательно ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{pramāṇa}}}{\text{icchā}}}={\tfrac {32\times 16}{20}}=25{\tfrac {3}{5}}$ нишка -с.

Сложная пропорция

В трайрашике есть только одна прамана и соответствующая ей пхала . Нам необходимо найти пхала, соответствующую заданному значению ичча для прамана . Соответствующие величины могут быть также представлены в следующем виде:

прамана	ичка
каша	ича-трубка

Индийские математики обобщили эту проблему на случай, когда имеется более одной праманы . Пусть будет n прамана -с прамана -1, прамана -2, . . ., прамана - н и соответствующая пхала . Пусть иччха -ы, соответствующие прамана-ам , будут иччха -1, иччха -2, . . ., ичча - н . Проблема состоит в том, чтобы найти пхала, соответствующую этим ичча -ам. Это можно представить в следующей табличной форме:

прамана -1	ича -1
прамана -2	ичка -2
. . .	. . .
прамана - н	пить - н
каша	ича-трубка

Это проблема сложной пропорции. Ичча -пхала дается ${\text{ ichcā-phala }}={\tfrac {({\text{ ichcā-1 }}\times {\text{ ichcā-2 }}\times \cdots \times {\text{ ichcā-n }})\times {\text{ phala }}}{{\text{ pramāṇa-1 }}\times {\text{ pramāṇa-2 }}\times \cdots \times {\text{ pramāṇa-n }}}}.$

Поскольку существуют $2n+1$ величин, метод решения задачи можно назвать «правилом $2n+1$В своей книге «Бджаганита Бхаскара II» обсудил некоторые частные случаи этого общего принципа, такие как «правило пяти» ( панджарасика ), «правило семи» ( саптарашика ), «правило девяти» («наварашика») и «правило семи ». из одиннадцати» ( экадашарасика ).

Показательный пример

Этот пример правила девяти взят из «Бджаганита» :

Задача: если тридцать скамеек, толщиной в двенадцать пальцев, шириной в четыре квадрата и длиной в четырнадцать локтей, стоят сто [ниш]; скажи мне, друг мой, какую цену будут стоить четырнадцать скамеек, которые в каждом измерении на четыре меньше?

Решение: Данные представлены в следующей табличной форме:

30	14
12	8
16	12
14	10
100	ичча-пхала

ичча-пхала = ${\tfrac {(14\times 8\times 12\times 10)\times 100}{30\times 12\times 16\times 14}}={\tfrac {100}{6}}=16{\tfrac {2}{3}}$.

Важность траирашики

Все индийские астрономы и математики поставили принцип траирашики на высокий пьедестал. Например, Бхаскара II в своей «Лилавати» даже сравнивает траирашику с самим Богом!

«Поскольку существо, которое освобождает умы своих поклонников от страданий и которое является единственной причиной создания этой вселенной, пронизывает все и делает это с помощью своих различных проявлений, таких как миры, рай, горы, реки, боги «демоны, люди, деревья» и города; так же и весь этот набор инструкций для вычислений, пронизанный правилом трёх членов».

Дополнительное чтение

• Подробнее о расширенных применениях траирашики в астрономии см.: М. С. Шрирам (2022). «Нетривиальное использование «Трайрасики» (принципа пропорциональности) в индийских текстах по астрономии». В Сите Сундар Раме; Рамакальяни В. (ред.). История и развитие математики в Индии (PDF) . Нью-Дели: Национальная миссия рукописей. стр. 337–353 . Проверено 20 июня 2024 г. .
• Полное обсуждение траирашики см.: Бибхутибхушан Датта и Авадхеш Нараян Сингх (1962). История индуистской математики: справочник, части I и II . Мумбаи: Издательство Asia. стр. 203–218 . Проверено 21 июня 2024 г.
• О применении траирашики в индийской архитектуре см.: П. Рамакришнан (сентябрь 1998 г.). Индийская математика, связанная с архитектурой и другими областями, с особым упором на Кералу (PDF) . Кочин, Индия: Кочинский университет науки и технологий. стр. 72–92 . Проверено 21 июня 2024 г. (Глава V Трайрасика (Правило трех) в традиционной архитектуре)