Скорость по площади

Скорость по площади
Скорость по площади
	Ареал скорости — это площадь, охватываемая в единицу времени вектором положения (относительно опорной точки A) частицы, движущейся по кривой da/dt=const (показана синим цветом).
Другие имена	Реальная скорость
И объединились	м 2 /с
Измерение	л 2 Т -1

В классической механике площадная скорость (также называемая секторной скоростью или секториальной скоростью ) представляет собой псевдовектор которого , длина равна скорости изменения , с которой площадь выметается частицей при ее движении вдоль кривой . Он имеет единицы СИ - квадратные метры в секунду (м ²/с) и размерность длины квадрата за время L ² Т ^-1.

Предположим, что на соседнем рисунке частица движется вдоль синей кривой. В некоторый момент времени t частица находится в точке B через некоторое время, в момент времени t + Δt , частица переместилась в точку C. , а На рисунке зеленым цветом закрашена область . , заметаемая частицей, ограниченная отрезками АВ и АС и кривой, по которой движется частица Величина окружной скорости (т. е. окружная скорость ) представляет собой площадь этой области, деленную на временной интервал Δ t в пределе, когда Δ t становится исчезающе малым. перпендикулярно направление вектора Постулируется, что плоскости , содержащей векторы положения и скорости частицы, в соответствии с соглашением, известным как правило правой руки .

Сохранение пространственной скорости является общим свойством движения центральной силы . ^[1] и в контексте классической механики эквивалентно сохранению углового момента .

Связь с угловым моментом

Иллюстрация второго закона Кеплера. Рядом с Солнцем планета движется быстрее, поэтому за данное время заметается та же самая площадь, что и на больших расстояниях, где планета движется медленнее.

Площадная скорость тесно связана с угловым моментом . Любой объект имеет орбитальный угловой момент относительно начала координат, и он оказывается с точностью до мультипликативной скалярной константы равным пространственной скорости объекта вокруг того же начала координат. Важнейшим свойством углового момента является то, что он сохраняется под действием центральных сил (т.е. сил, действующих радиально по направлению к началу координат или от него). Исторически закон сохранения углового момента был сформулирован исключительно в терминах пространственной скорости.

Особым случаем этого является второй закон Кеплера , который гласит, что земная скорость планеты, если считать Солнце источником координат, постоянна во времени. Поскольку гравитационная сила, действующая на планету, является примерно центральной силой (поскольку масса планеты мала по сравнению с массой Солнца), угловой момент планеты (и, следовательно, земная скорость) должен оставаться (приблизительно) постоянным. . Исаак Ньютон был первым ученым, осознавшим динамическое значение второго закона Кеплера. С помощью своих законов движения он доказал в 1684 году, что любая планета, притягивающаяся к неподвижному центру, за равные промежутки времени охватывает равные площади. По этой причине закон сохранения момента количества движения исторически назывался «принципом равных площадей». Закон сохранения углового момента позже был расширен и обобщен на более сложные ситуации, которые нелегко описать с помощью концепции пространственной скорости. Поскольку современная форма закона сохранения углового момента включает в себя гораздо больше, чем просто второй закон Кеплера, в современных работах от названия «принцип равных площадей» отказались.

Орбиты планет с различным эксцентриситетом. Красный луч вращается с постоянной угловой скоростью и с тем же периодом обращения, что и планета. $T=1$ .
S: Солнце в главном фокусе, C: Центр эллипса, S': Вторичный фокус.
В каждом случае площади всех изображенных секторов одинаковы.
Низкий	Высокий
Планета, вращающаяся вокруг Солнца по круговой орбите (e=0,0)	Планета, вращающаяся вокруг Солнца по орбите с e=0,5.
Планета, вращающаяся вокруг Солнца по орбите с e=0,2.	Планета, вращающаяся вокруг Солнца по орбите с e=0,8.

Вывод связи с угловым моментом

В ситуации первого рисунка площадь, выметенная за время Δt частицей , примерно равна площади треугольника ABC . Когда Δt приближается к нулю, это почти равенство становится точным как предел .

Пусть точка D будет четвертым углом параллелограмма ABDC, изображенного на рисунке, так что векторы AB и AC складываются по правилу параллелограмма в вектор AD . Тогда площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC , а площадь ABDC равна величине векторного произведения векторов AB и AC . Эту область также можно рассматривать как (псевдо)вектор с этой величиной, указывающий в направлении, перпендикулярном параллелограмму (следуя правилу правой руки ); этот вектор сам является векторным произведением: ${\text{vector area of parallelogram }}ABCD=\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t).$

Следовательно ${\text{vector area of triangle }}ABC={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2}}.$

Площадная скорость представляет собой площадь вектора, деленную на Δ t в пределе, когда Δ t становится исчезающе малым: ${\begin{aligned}{\text{areal velocity}}&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times {\bigl (}\mathbf {r} (t)+\mathbf {r} \,'(t)\Delta t{\bigr )}}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}\left({\Delta t \over \Delta t}\right)\\&={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}.\end{aligned}}$

Но, $\mathbf {r} \,'(t)$ вектор скорости $\mathbf {v} (t)$ движущейся частицы, так что ${\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}.$

С другой стороны, угловой момент частицы равен

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} ,$

и, следовательно, угловой момент равен 2 м , умноженным на окружную скорость.

Связь с магнитными диполями

Ареал скорости также тесно связана с концепцией магнитных диполей в классической электродинамике. Каждый электрический ток обладает (псевдо)векторной величиной, называемой магнитным дипольным моментом относительно заданного начала координат. В частном случае, когда ток состоит из одного движущегося точечного заряда, магнитный дипольный момент относительно любого заданного начала координат оказывается с точностью до скалярного множителя равным поверхностной скорости заряда вокруг того же начала. В более общем случае, когда ток состоит из большого, но конечного числа движущихся точечных зарядов, магнитный дипольный момент представляет собой сумму дипольных моментов каждого из зарядов и, следовательно, пропорционален сумме поперечных скоростей все обвинения. В пределе непрерывности, когда число зарядов в токе становится бесконечным, сумма становится целым числом; т. е. магнитный дипольный момент непрерывного тока вокруг данного начала координат с точностью до скалярного множителя равен интегралу от поверхностной скорости вдоль пути тока. Если путь тока представляет собой замкнутый контур и если ток одинаков во всех точках контура, этот интеграл оказывается независимым от выбранного начала координат, так что магнитный дипольный момент становится фундаментальной константой, связанной с током. петля.

См. также

Ссылки

^ Уд, Мартин (10 ноября 2005 г.). «Глава 6. Движение центральной силы» (PDF) . Физика 350/Прикладная математика 353 Классическая механика I. Западный университет . Проверено 15 октября 2021 г.

Дальнейшее чтение

Моултон, Франция (1970) [1914]. Введение в небесную механику . Дувр. ISBN 978-0-486-64687-9 .
Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-486-68063-7 .
Кейси, Дж. (2007). «Скорость площадей и угловой момент для неплоских задач механики частиц» . Американский журнал физики . 75 (8): 677–685. Бибкод : 2007AmJPh..75..677C . дои : 10.1119/1.2735630 .
Бракенридж, Дж. Б. (1995). Ключ к динамике Ньютона: проблема Кеплера и начала . Беркли: Издательство Калифорнийского университета. ISBN 978-0-520-20217-7 . JSTOR 10.1525/j.ctt1ppn2m .

[1] Уд, Мартин (10 ноября 2005 г.). «Глава 6. Движение центральной силы» (PDF) . Физика 350/Прикладная математика 353 Классическая механика I. Западный университет . Проверено 15 октября 2021 г.

[1]