Коцикл JLO

В некоммутативной геометрии коцикл Яффе- Лесневского-Остервальдера (JLO) (названный в честь Артура Яффе , Анджея Лесневского и Конрада Остервальдера ) является коциклом во всей циклической группе когомологий . Это некоммутативная версия классического характера Черна традиционной дифференциальной геометрии . В некоммутативной геометрии понятие многообразия заменяется некоммутативной алгеброй. ${\mathcal {A}}$ «функций» на предполагаемом некоммутативном пространстве. Циклические когомологии алгебры ${\mathcal {A}}$ содержит информацию о топологии этого некоммутативного пространства, подобно тому, как когомологии де Рама содержат информацию о топологии обычного многообразия.

Коцикл JLO связан с метрической структурой некоммутативной дифференциальной геометрии, известной как $\theta$-суммируемая спектральная тройка (также известная как $\theta$-суммируемый модуль Фредгольма). Впервые он был представлен в статье Яффе, Лесневски и Остервальдера в 1988 году.

$\theta$-суммируемые спектральные тройки

Входными данными для построения JLO является $\theta$-суммируемая спектральная тройка. Эти тройки состоят из следующих данных:

(а) Гильбертово пространство ${\mathcal {H}}$ такой, что ${\mathcal {A}}$ действует на нем как алгебра ограниченных операторов.

(б) А $\mathbb {Z} _{2}$-оценка $\gamma$ на ${\mathcal {H}}$, ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}\oplus {\mathcal {H}}_{1}$. Мы предполагаем, что алгебра ${\mathcal {A}}$ находится даже под $\mathbb {Z} _{2}$-градация, т.е. $a\gamma =\gamma a$, для всех $a\in {\mathcal {A}}$.

(в) Самосопряженный (неограниченный) оператор $D$, называемый оператором Дирака, такой, что

(я) $D$ странно под $\gamma$, то есть $D\gamma =-\gamma D$.

(ii) Каждый $a\in {\mathcal {A}}$ отображает область действия $D$, $\mathrm {Dom} \left(D\right)$ в себя, а оператор $\left[D,a\right]:\mathrm {Dom} \left(D\right)\to {\mathcal {H}}$ ограничен.

(iii) $\mathrm {tr} \left(e^{-tD^{2}}\right)<\infty$, для всех $t>0$.

Классический пример $\theta$-суммируемая спектральная тройка возникает следующим образом. Позволять $M$ быть компактным спиновым многообразием , ${\mathcal {A}}=C^{\infty }\left(M\right)$, алгебра гладких функций на $M$, ${\mathcal {H}}$ гильбертово пространство интегрируемых с квадратом форм на $M$, и $D$ стандартный оператор Дирака.

Коцикл

Учитывая $\theta$-суммируемая спектральная тройка, коцикл JLO $\Phi _{t}\left(D\right)$ тройке соответствует последовательность

$\Phi _{t}\left(D\right)=\left(\Phi _{t}^{0}\left(D\right),\Phi _{t}^{2}\left(D\right),\Phi _{t}^{4}\left(D\right),\ldots \right)$

функционалов на алгебре ${\mathcal {A}}$, где

$\Phi _{t}^{0}\left(D\right)\left(a_{0}\right)=\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-tD^{2}}\right),$

$\Phi _{t}^{n}\left(D\right)\left(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\int _{0\leq s_{1}\leq \ldots s_{n}\leq t}\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-s_{1}D^{2}}\left[D,a_{1}\right]e^{-\left(s_{2}-s_{1}\right)D^{2}}\ldots \left[D,a_{n}\right]e^{-\left(t-s_{n}\right)D^{2}}\right)ds_{1}\ldots ds_{n},$

для $n=2,4,\dots$. Класс когомологий, определенный формулой $\Phi _{t}\left(D\right)$ не зависит от стоимости $t$

См. также

• Циклическая гомология
• Класс Черна
• Артур Джаффе