уравнение Белавкина

В области квантовой вероятности , уравнение Белавкина также известное как уравнение Белавкина-Шредингера , уравнение квантовой фильтрации , стохастическое главное уравнение , представляет собой квантовое стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику квантовой системы , наблюдаемой в непрерывном времени. Он был выведен и в дальнейшем изучен Вячеславом Белявкиным в 1988 году.

Обзор

В отличие от уравнения Шредингера , описывающего детерминированную эволюцию волновой функции $\psi (t)$ замкнутой системы (без взаимодействия) уравнение Белавкина описывает стохастическую эволюцию случайной волновой функции $\psi (t,\omega )$ открытой квантовой системы, взаимодействующей с наблюдателем:

$d\psi =-\left({\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H\right)\psi dt+L\psi dy$

Здесь, $L$ — самосопряженный оператор (или вектор-столбец операторов) системы, связанный с внешним полем, $H$ гамильтониан, $i={\sqrt {-1}}$ — мнимая единица, $\hbar$ – постоянная Планка, а $y(t)=\int _{0}^{t}dy(r)$ это стохастический процесс, представляющий шум измерения, который представляет собой мартингал с независимыми приращениями относительно входной меры вероятности. $P(0,d\omega )=\|\psi (0,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )$. Обратите внимание, что этот шум имеет зависимые приращения по отношению к выходной вероятностной мере. $P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )$ представление выходного инновационного процесса (наблюдение). Для $L=0$уравнение становится стандартным уравнением Шрёдингера .

Случайный процесс $y(t)$ может быть смесью двух основных типов: Пуассона (или прыжка ). типа $y(t)\simeq n(t)-t$, где $n(t)$ — процесс Пуассона , соответствующий счетному наблюдению, и броуновского (или диффузионного ) типа $y(t)\simeq w(t)$, где $w(t)$ — стандартный винеровский процесс, соответствующий непрерывному наблюдению. Уравнения диффузионного типа могут быть получены как центральный предел уравнений скачкового типа с возрастающей до бесконечности ожидаемой скоростью скачков.

Случайная волновая функция $\psi (t,\omega )$ нормируется только в среднеквадратическом смысле $\int \|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )=\|\psi _{0}\|=1$, но в целом $\psi (t,\omega )$ не может быть нормализовано для каждого $\omega$. Нормализация $\psi (t,\omega )$ для каждого $\omega$ дает случайный вектор апостериорного состояния $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$, эволюция которого описывается апостериорным уравнением Белавкина, которое является нелинейным, поскольку операторы $L$ и $H$ зависеть от $\varphi$ из-за нормализации. Случайный процесс $y(t)$ в апостериорном уравнении имеет независимые приращения по отношению к выходной вероятностной мере $P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )$, но не по отношению к входной мере. Белавкин также вывел линейное уравнение для ненормированного оператора плотности $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )$ и соответствующее нелинейное уравнение для нормированного случайного оператора апостериорной плотности $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$. Для двух типов шума измерений это дает восемь основных квантовых стохастических дифференциальных уравнений. Общие формы уравнений включают все типы шума и их представления в пространстве Фока .

Нелинейное уравнение, описывающее наблюдение положения свободной частицы, которое является частным случаем апостериорного уравнения Белавкина диффузионного типа, было получено также Диози. и появился в произведениях Гизена, Жирарди, Перл и Римини, хотя и с совершенно другой мотивацией или интерпретацией. Подобные нелинейные уравнения для операторов апостериорной плотности постулировались (хотя и без вывода) в квантовой оптике и теории квантовых траекторий: где они называются стохастическими основными уравнениями . Усреднение уравнений для операторов случайной плотности $\rho (t,\omega )$ по всем случайным траекториям $\omega$ приводит к уравнению Линдблада , который является детерминированным.

Нелинейные уравнения Белавкина для апостериорных состояний играют ту же роль, что и уравнение Стратоновича–Кушнера в классической вероятности, а линейные уравнения соответствуют уравнению Закаи . Уравнения Белавкина описывают непрерывную декогерентность исходно чистого состояния. $\rho (0)=\psi _{0}\psi _{0}^{\ast }$ в смешанное заднее состояние $\rho (t)=\int \varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )P(t,d\omega )$ дающее строгое описание динамики коллапса волновой функции в результате наблюдения или измерения.

Измерение без разрушения и квантовая фильтрация

Некоммутативность представляет собой серьезную проблему для вероятностной интерпретации квантовых стохастических дифференциальных уравнений из-за отсутствия условных ожиданий для общих пар квантовых наблюдаемых. Белавкин решил эту проблему, открыв соотношение неопределенностей ошибка-возмущение и сформулировав принцип неразрушения квантовых измерений. В частности, если случайный процесс $dy(t)$ соответствует ошибке $e(t)dt=dw$ (белый шум в диффузном случае) зашумленного наблюдения $Y(t)=X(t)+e(t)$ оператора $X(t)=\lambda [L(t)+L^{\ast }(t)]$ с коэффициентом точности $\lambda >0$, то косвенное наблюдение возмущает динамику системы стохастической силой $f(t)$, называемая силой Ланжевена , которая представляет собой еще один белый шум интенсивности $(\hbar \lambda )^{2}$ это не коммутируется с ошибкой $e(t)$. Результатом такого возмущения является то, что выходной процесс $Y(t)$ коммутативен $[Y(s),Y(t)]=0$, и, следовательно, $\int _{0}^{t}Y(r)dr$ соответствует классическому наблюдению, а системные операторы $X$ удовлетворять условию неразрушения: все будущие наблюдаемые должны коммутировать с прошлыми наблюдениями (но не с будущими наблюдениями): $[X(s),Y(t)]=0$ для всех $s\geq t$ (но не $s<t$). Обратите внимание, что коммутация $X(s)$ с $Y(t)$ и еще один оператор $Z(s)$ с $Y(t)$ не предполагает коммутации $X(s)$ с $Z(s)$, так что алгебра будущих наблюдаемых все еще некоммутативна. Условие несносимости является необходимым и достаточным для существования условных ожиданий. $\mathbb {E} \{X(s)\mid Y(t)\}$, что делает возможной квантовую фильтрацию.

Апостериорные уравнения состояния

Подсчет наблюдения

Позволять $n(t)$ быть процессом Пуассона с прямыми приращениями $dn(t)=0$ почти везде и $dn(t)=1$ в противном случае и имея свойство $(dn)^{2}=dn$. Ожидаемое количество событий $\mathbb {E} \{n(t)\}=\nu t$, где $\nu$ ожидаемая скорость прыжков. Затем подставив $m(t)={\frac {n(t)-\nu t}{\sqrt {\nu }}}$ для случайного процесса $y(t)$ дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции $\psi (t,\omega )$ проходят счетное наблюдение. Замена $L={\sqrt {\nu }}(C-I)$, где $C$ является оператором коллапса, и $H=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })$, где $E$ – оператор энергии, это уравнение можно записать в следующем виде

$d\psi =-\left({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast }C-I)+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\psi dt+(C-I)\psi dn$

Нормализованная волновая функция $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$ называется апостериорным вектором состояния , эволюция которого описывается следующим нелинейным уравнением

$d\varphi =-\left({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast }C-\|C\varphi \|^{2})+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\varphi dt+\left({\frac {C}{\|C\varphi \|}}-I\right)\varphi d{\tilde {n}}$

где ${\tilde {n}}(t)$ имеет ожидание $\mathbb {E} \{{\tilde {n}}(t)\}=\nu \|C\varphi \|^{2}t$. Апостериорное уравнение можно записать в стандартной форме

$d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {m}}$

с ${\tilde {L}}={\sqrt {\nu }}(C-\|C\varphi \|)$, ${\tilde {H}}=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })\|C\varphi \|$, и ${\tilde {m}}(t)={\frac {{\tilde {n}}(t)-\nu \|C\varphi \|^{2}t}{{\sqrt {\nu }}\|C\varphi \|}}$. Соответствующие уравнения для ненормированного оператора случайной плотности $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )$ и для нормированного случайного оператора апостериорной плотности $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$ следующие

${\begin{aligned}d\varrho &=-[G\varrho +\varrho G^{\ast }-\nu \varrho ]dt+[C\varrho C^{\ast }-\varrho ]dn\\d\rho &=-[G\rho +\rho G^{\ast }-\nu \rho \mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}]dt+\left({\frac {C\rho C^{\ast }}{\mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}}}-\rho \right)d{\tilde {n}}\end{aligned}}$

где $G={\frac {\nu }{2}}C^{\ast }C+{\frac {i}{\hbar }}E$. Обратите внимание, что последнее уравнение является нелинейным.

Непрерывное наблюдение

Случайный процесс $m(t)$, определенный в предыдущем разделе, имеет приращение вперед $(dm)^{2}=\nu ^{-1/2}dm+dt$, которые имеют тенденцию $dt$ как $\nu \to \infty$. Поэтому, $m(t)$ становится стандартным винеровским процессом относительно входной вероятностной меры. Замена $w(t)$ для $y(t)$ дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции $\psi (t,\omega )$ подвергается постоянному наблюдению. Процесс вывода ${\tilde {m}}(t)$ становится диффузионным инновационным процессом ${\tilde {w}}(t)$ с приращениями $d{\tilde {w}}(t,\omega )=dw(t,\omega )-2\mathrm {Re} \langle \varphi (t,\omega )\mid L\varphi (t,\omega )\rangle dt$. Нелинейное уравнение Белавкина диффузионного типа для апостериорного вектора состояния $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$ является

$d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {w}}$

с ${\tilde {L}}=L-\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle$ и ${\tilde {H}}=H+i\hbar {\frac {1}{2}}(L-L^{\ast })\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle$. Соответствующие уравнения для ненормированного оператора случайной плотности $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )$ и для нормированного случайного оператора апостериорной плотности $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$ следующие

${\begin{aligned}d\varrho &=-[K\varrho +\varrho K^{\ast }-L\varrho L^{\ast }]dt+[L\varrho +\varrho L^{\ast }]dw\\d\rho &=-[K\rho +\rho K^{\ast }-L\rho L^{\ast }]dt+[L\rho +\rho L^{\ast }-\rho \mathrm {Tr} \left\{(L+L^{\ast })\rho \right\}]d{\tilde {w}}\end{aligned}}$

где $K={\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H$. Второе уравнение является нелинейным из-за нормировки. Потому что $\mathbb {E} \{dw(t)\}=0$, взяв среднее значение этих стохастических уравнений по всем $\omega$ приводит к уравнению Линдблада

${\frac {d\rho }{dt}}=-[K\rho +\rho K^{\ast }]+L\rho L^{\ast }$

Пример: непрерывное наблюдение за положением свободной частицы.

Рассмотрим свободную частицу массы $m$. Наблюдаемые положения импульса и соответствуют операторам соответственно ${\hat {x}}$ умножения на $x$ и ${\hat {p}}=(\hbar /i)d/dx$. Сделав следующие замены в уравнении Белавкина

$L={\hat {x}},\qquad H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$

апостериорное стохастическое уравнение принимает вид

$d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\right)\varphi dt+{\Bigl (}{\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle {\Bigr )}\varphi [dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt]$

где $\langle {\hat {x}}\rangle (t)=\mathrm {Tr} \left\{{\hat {x}}\rho (t)\right\}$ апостериорное ожидание ${\hat {x}}$. основанным на теории спонтанного коллапса , а не на теории фильтрации. Это уравнение было также получено Диози, показывая, что шум измерения $dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt$ это приращение $d\xi$ стандартного винеровского процесса . У этого уравнения существуют решения в замкнутой форме: а также уравнения для частицы в линейном или квадратичном потенциале. Для гауссовского начального состояния $\psi _{0}$ эти решения соответствуют оптимальному квантовому линейному фильтру. Решения уравнения Белавкина показывают, что в пределе $t\to \infty$ волновая функция имеет конечную дисперсию, таким образом, разрешая квантовый эффект Зенона .