Глоссарий теории категорий

Это глоссарий свойств и понятий теории категорий в математике . (см. также Очерк теории категорий .)

• Примечания к основам : Во многих изложениях (например, Вистоли) вопросы теории множеств игнорируются; это означает, например, что нельзя различать малые и большие категории и что можно произвольно образовывать локализацию категории. Как и эти объяснения, этот глоссарий обычно игнорирует вопросы теории множеств, за исключением тех случаев, когда они уместны (например, обсуждение доступности).

В теории категорий также используются понятия алгебраической топологии, особенно для более высоких категорий. Для этого см. также глоссарий алгебраической топологии .

В статье используются следующие обозначения и соглашения:

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n }, который рассматривается как категория (записывая $i\to j\Leftrightarrow i\leq j$.)
• Cat — категория (маленьких) категорий , где объектами являются категории (маленькие по отношению к некоторой вселенной) и функторы морфизмов .
• Fct ( C , D ), категория функтора : категория функторов из категории C категорию D. в
• Set , категория (маленьких) множеств.
• s Set , категория симплициальных множеств .
• «слабый» вместо «строгий» получает статус по умолчанию; например, « n -категория» по умолчанию означает «слабую n -категорию», а не строгую.
• Под ∞-категорией мы подразумеваем квазикатегорию , наиболее популярную модель, если не обсуждаются другие модели.
• Число ноль 0 является натуральным числом.

А

абелев

Категория является абелевой , если она имеет нулевой объект, имеет все возвраты и выталкивания и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

доступный

1. Для данного кардинального числа κ объект X в категории является κ-доступным (или κ-компактным, или κ-представимым), если $\operatorname {Hom} (X,-)$ коммутирует с κ-фильтрованными копределами.

2. Для правильного кардинала κ категория является κ-доступной , если она имеет κ-фильтрованные копределы и существует небольшой набор S κ-компактных объектов, который порождает категорию относительно копределов, то есть каждый объект можно записать как копредел схемы объектов в S .

добавка

Категория является аддитивной , если она преаддитивна (точнее, имеет некоторую предаддитивную структуру) и допускает все конечные копроизведения . Хотя «преаддитив» — это дополнительная структура, можно показать, что «аддитив» — это свойство категории; т. е. можно задаться вопросом, является ли данная категория аддитивной или нет.

присоединение

Присоединение . (также называемое сопряженной парой) — это пара функторов F : C → D , G : D → C такая, что существует «естественная» биекция

$\operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))$;

F Говорят, что сопряжена слева к G а G сопряжена справа к F. , Здесь «естественный» означает, что существует естественный изоморфизм. $\operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))$ бифункторов (контравариантных по первой переменной).

алгебра для монады

Учитывая монаду T в категории X , алгебра для T или T -алгебра является объектом в X с моноидным действием T , («алгебра» вводит в заблуждение, а термин « T -объект», возможно, является лучшим термином). Например , если группа G определяет монаду T в Set стандартным образом T -алгебра представляет собой множество с действием G , то .

амнезиак

Функтор является амнестическим, если он обладает свойством: если k — изоморфизм и F ( k ) — тождество, то k — тождество.

Б

сбалансированный

Категория сбалансирована , если каждый биморфизм (т. е. как моно, так и эпи) является изоморфизмом.

Теорема Бека

Теорема Бека характеризует категорию алгебр для данной монады .

двухкатегория

Бикатегория — это модель слабой 2-категории .

бифунктор

Бифунктором → пары категорий C и D в категорию E функтор C × D . E называется Например, для любой C категории $\operatorname {Hom} (-,-)$ является бифунктором из C ^на и C для установки .

бимоноидальный

Бимоноидальная категория — это категория с двумя моноидальными структурами, одна из которых распределяется над другой.

биморфизм

Биморфизм — это морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом.

Локализация Бусфилда

См. локализацию Бусфилда .

С

исчисление функторов

Исчисление функторов — это метод изучения функторов, аналогичный тому, как функция изучается через ее разложение в ряд Тейлора ; откуда и появился термин «исчисление».

декартово закрытый

Категория является декартово замкнутой , если она имеет конечный объект и любые два объекта имеют произведение и экспоненту.

декартовский функтор

Учитывая относительные категории $p:F\to C,q:G\to C$ над той же базовой категорией C функтор $f:F\to G$ над C является декартовым, если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы.

декартовский морфизм

1. Учитывая функтор π: C → D (например, предстек по схемам), морфизм f : x → y в C является π-декартовым , если для каждого объекта z в C каждый морфизм g : z → y в C и для каждого морфизма v : π( z ) → π( x ) в D такого, что π( g ) = π( f ) ∘ v , существует единственный морфизм u : z → x такой, что π( u ) = v и g знак равно ж ∘ ты .

2. Для функтора π: C → D (например, предсука над кольцами) морфизм f : x → y в C является π-кодекартовым , если для каждого объекта z в C каждый морфизм g : x → z в C и для каждого морфизма v : π( y ) → π( z ) в D такого, что π( g ) = v ∘ π( f ), существует единственный морфизм u : y → z такой, что π( u ) = v и g знак равно ты ∘ ж . (Короче говоря, f является двойственным π-декартову морфизму.)

Декартовский квадрат

Коммутативная диаграмма, изоморфная диаграмме, заданной в виде расслоенного произведения.

категоричная логика

Категориальная логика — это подход к математической логике , использующий теорию категорий.

категориальная вероятность

категориальная вероятность

категоризация

Категорификация — это процесс замены множеств и теоретико-множественных концепций категориями и теоретико-категорными концепциями каким-то нетривиальным способом с целью уловить категориальные оттенки. Декатегорификация – это обратная категоризация.

Теория категорий возникла... из-за необходимости проводить сложные вычисления, включающие предельный переход при изучении качественного скачка от пространств к гомотопическим/гомологическим объектам. ... Но теория категорий не довольствуется простой классификацией в духе вольфовской метафизики (хотя некоторые из ее практиков могут это делать); скорее, именно изменчивость математически точных структур (посредством морфизмов) является существенным содержанием теории категорий.

Уильям Ловер,

категория

Категория данных состоит из следующих

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y существует множество $\operatorname {Hom} (X,Y)$, элементы которого называются морфизмами из X в Y ,
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z создается карта (называемая композицией).

   $\circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f$,

4. Для каждого объекта X тождественный морфизм $\operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)$

при условии: для любых морфизмов $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ и $h:Z\to W$,

• $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ и $\operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f$.

Например, частично упорядоченный набор можно рассматривать как категорию: объекты являются элементами набора, и для каждой пары объектов x , y существует уникальный морфизм. $x\to y$ тогда и только тогда, когда $x\leq y$; ассоциативность композиции означает транзитивность.

категория

1. Категория (малых) категорий , обозначаемая Cat , — это категория, в которой объектами являются все категории, малые по отношению к некоторой фиксированной вселенной, а морфизмы — все функторы .

2. Категория модулей , Категория топологических пространств , Категория групп , Категория метрических пространств и т.д.

Классификационное пространство

Классифицирующее пространство категории C нерва C. является геометрической реализацией

со-

Часто используется как синоним оп-; например, копредел относится к оп-пределу в том смысле, что это предел противоположной категории. Но может быть различие; например, оп-расслоение — это не то же самое, что кофибрация .

сопредседатель

Коэнд функтора $F:C^{\text{op}}\times C\to X$ двойственным к концу F является и обозначается

$\int ^{c\in C}F(c,c)$.

Например, если R — кольцо, M — правый R -модуль, а N — R - модуль, то тензорное произведение M левый и N равно

$M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N$

где R рассматривается как категория с одним объектом, морфизмы которого являются элементами R .

коэквалайзер

Коэквалайзер пары морфизмов $f,g:A\to B$ является копределом пары. Это двойник эквалайзера.

теорема когерентности

Теорема когерентности — это теорема, которая утверждает, что слабая структура эквивалентна строгой структуре.

последовательный

1. Последовательная категория (на данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category ).

2. Связный топос .

сплоченный

связная категория .

изображение

Кообраз морфизма : X → Y. f : X → Y является коэквалайзером морфизма f $X\times _{Y}X\rightrightarrows X$.

цветная операда

Другой термин для обозначения мультикатегории — обобщенной категории, в которой морфизм может иметь несколько областей. Понятие «цветная операда» более примитивно, чем понятие операда: фактически операду можно определить как цветную операду с одним объектом.

запятая

Данные функторы $f:C\to B,g:D\to B$, категория запятой $(f\downarrow g)$ — категория, в которой (1) объекты являются морфизмами $f(c)\to g(d)$ и (2) морфизм из $\alpha :f(c)\to g(d)$ к $\beta :f(c')\to g(d')$ состоит из $c\to c'$ и $d\to d'$ такой, что $f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')$ является $f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').$ Например, если f — тождественный функтор, а g — постоянный функтор со значением b , то это категория среза B над объектом b .

комонада

Комонада — в категории X это комоноид в моноидальной категории эндофункторов X .

компактный

Вероятно, это синоним #accessible .

полный

Категория считается полной, если существуют все малые пределы.

полнота

теорема Делиня о полноте ; см . [1] .

композиция

1. Композиция морфизмов в категории является частью данных, определяющих категорию.

2. Если $f:C\to D,\,g:D\to E$ являются функторами, то композиция $g\circ f$ или $gf$ является функтором, определяемым: для объекта x и морфизма u в C , $(g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))$.

3. Естественные преобразования составляются поточечно: если $\varphi :f\to g,\,\psi :g\to h$ являются естественными преобразованиями, то $\psi \circ \varphi$ это естественное преобразование, заданное $(\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}$.

конкретный

Конкретная категория C — это такая категория, что существует точный функтор из C в Set ; например, Vec , Grp и Top .

конус

Конус — это способ выразить универсальное свойство копредела (или двойственного предела). Можно показать что копредел $\varinjlim$ является левым сопряженным к диагональному функтору $\Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)$, который отправляет объект X в константный функтор со значением X ; то есть для любого X и любого функтора $f:I\to C$,

$\operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),$

при условии, что рассматриваемый копредел существует. Правая часть тогда представляет собой набор конусов с вершиной X .

подключен

Категория связна , если для каждой пары объектов x , y существует конечная последовательность объектов z _i такая, что $z_{0}=x,z_{n}=y$ и либо $\operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})$ или $\operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})$ непусто для любого i .

консервативный функтор

— Консервативный функтор это функтор, отражающий изоморфизмы. Многие забывчивые функторы консервативны, но забывчивый функтор от Top до Set не является консервативным.

постоянный

Функтор является постоянным , если он отображает каждый объект в категории на один и тот же объект A и каждый морфизм на единицу на A . Другими словами, функтор $f:C\to D$ является постоянным, если он учитывается как: $C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D$ для некоторого объекта A в D , где i — включение дискретной категории { A }.

контравариантный оператор

Контравариантный функтор F из категории C в категорию D — это (ковариантный) функтор из C ^на к Д. ​Иногда его также называют предпучком, особенно когда D равно Set или его вариантам. Например, для каждого множества S пусть ${\mathfrak {P}}(S)$ быть набором мощности S и для каждой функции $f:S\to T$, определять

${\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)$

отправив подмножество A из T в прообраз $f^{-1}(A)$. При этом, ${\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ это контравариантный оператор.

побочный продукт

Копроизведение индексированного семейства объектов X _i в категории C, набором I, является индуктивным пределом. $\varinjlim$ функтора $I\to C,\,i\mapsto X_{i}$, где I рассматривается как дискретная категория. Это двойственный продукт семьи. Например, сопутствующий продукт в Grp — это бесплатный продукт .

основной

Ядром . категории является максимальный группоид, содержащийся в категории

Д

Дневная свертка

Учитывая группу или моноид M , свертка Дея является тензорным произведением в $\mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )$.

Дендроидный

Дендроидный набор .

теорема плотности

Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок (многозначный контравариантный функтор) является копределом представимых предпучков. Лемма Йонеды встраивает категорию C в категорию предпучков на C . Теорема плотности утверждает, что изображение, так сказать, «плотное». Название «плотность» происходит из-за аналогии с теоремой о плотности Джекобсона (или другими вариантами) в абстрактной алгебре.

диагональный функтор

Для данных категорий I , C диагональный функтор — это функтор

$\Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}$

который отправляет каждый объект A в постоянный функтор со значением A и каждым морфизмом $f:A\to B$ к естественной трансформации $\Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B$ это f для каждого i .

диаграмма

Учитывая категорию C , диаграмма в C является функтором $f:I\to C$ малой категории I. из

дифференциально-оценочная категория

— Дифференциально-градуированная категория это категория, множества Hom которой снабжены структурами дифференциально-градуированных модулей . В частности, если в категории имеется только один объект, это то же самое, что и дифференциально-градуированный модуль.

прямой лимит

Прямой предел — это копредел системы прямой .

дискретный

Категория дискретна , если каждый морфизм является тождественным морфизмом (некоторого объекта). Например, набор можно рассматривать как дискретную категорию.

распределитель

Другой термин для «профунктор».

Эквивалентность Дуайера – Кана

Эквивалентность Дуайера – Кана — это обобщение эквивалентности категорий на симплициальный контекст.

И

Категория Эйленберга – Мура

Другое название категории алгебр для данной монады .

пустой

Пустая категория — это категория без объекта. Это то же самое, что и пустое множество , когда пустое множество рассматривается как дискретная категория.

конец

Конец ​ функтора $F:C^{\text{op}}\times C\to X$ это предел

$\int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)$

где $C^{\#}$ — это категория (называемая категорией подразделения C ) , объекты которой являются символами $c^{\#},u^{\#}$ для всех объектов c и всех морфизмов u в C , морфизмы которых $b^{\#}\to u^{\#}$ и $u^{\#}\to c^{\#}$ если $u:b\to c$ и где $F^{\#}$ индуцируется F так, что $c^{\#}$ пошел бы в $F(c,c)$ и $u^{\#},u:b\to c$ пошел бы в $F(b,c)$. Например, для функторов $F,G:C\to X$,

$\int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))$

множество естественных преобразований из F в G. — Дополнительные примеры см. в этой теме mathoverflow . Двойственность цели — это соэнд.

эндофунктор

Функтор между той же категорией.

расширенная категория

Учитывая моноидальную категорию ( C , ⊗, 1), категория, обогащенная над C , неформально является категорией, множества Hom которой находятся в C . Точнее, категория D, обогащенная по сравнению с C , — это данные, состоящие из

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y в D , объект $\operatorname {Map} _{D}(X,Y)$ в C , называемый объектом отображения из X в Y ,
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z в D , морфизма в C ,

   $\circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)$,

   называется композицией,

4. Для каждого объекта X в D морфизм $1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)$ в C , называемый единичным морфизмом X

при условии, что (примерно) композиции ассоциативны, а единичные морфизмы действуют как мультипликативное тождество.Например, категория, обогащенная множествами, является обычной категорией.

эпиморфизм

Морфизм f является эпиморфизмом, если $g=h$ в любое время $g\circ f=h\circ f$. Другими словами, f является двойственным мономорфизму.

эквалайзер

Эквалайзер пары морфизмов $f,g:A\to B$ это предел пары. Это двойник коэквалайзера.

эквивалентность

1. Функтор является эквивалентностью , если он точен, полон и существенно сюръективен.

2. Морфизм в ∞-категории C называется эквивалентностью, если он дает изоморфизм в гомотопической категории C .

эквивалент

Категория эквивалентна другой категории, если существует эквивалентность . между ними

по существу сюръективный

Функтор F называется существенно сюръективным (или плотным по изоморфизму), если для каждого объекта существует объект A такой, что F ( A ) изоморфен B. B

оценка

Учитывая категории C , D и объект A в C , оценка в A является функтором

$\mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).$

Например, аксиомы Эйленберга – Стинрода дают пример, когда функтор является эквивалентностью.

точный

1. Точная последовательность обычно представляет собой последовательность (от произвольных отрицательных целых чисел до произвольных положительных целых чисел) отображений.

$\cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots$

такое, что образ $f_{i}$ является ядром $f_{i+1}$. Это понятие можно обобщить по-разному.

2. Короткой точной последовательностью называется последовательность вида $0\to E\to F\to G\to 0$.

3. Функтор (например, между абелевыми категориями) называется точным, если он переводит короткие точные последовательности в короткие точные последовательности.

4. Точная категория — это грубо говоря категория, в которой существует понятие короткой точной последовательности.

Ф

верный

Функтор является точным , если он инъективен при ограничении на каждое hom-множество .

фундаментальная категория

Фундаментальный функтор категории $\tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat}$ является левым сопряженным нервному функтору N . Для каждой С категории $\tau _{1}NC=C$.

фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид $\Pi _{1}X$ комплекса Кана X — это категория, в которой объект является 0-симплексом (вершиной) $\Delta ^{0}\to X$, морфизм — это гомотопический класс 1-симплекса (пути) $\Delta ^{1}\to X$ а состав определяется свойством Кана.

волоконная категория

Говорят, что функтор π: C → D представляет C как категорию, расслоенную над D , если для каждого морфизма g : x → π( y ) в D существует π-декартов морфизм f : x' → y в C такой, что что π( ж ) = г . Если D — категория аффинных схем (скажем, конечного типа над некоторым полем), то π чаще называют предстеком . Примечание : π часто является функтором забывания, и фактически конструкция Гротендика подразумевает, что каждая расслоенная категория может быть принята в этой форме (с точностью до эквивалентности в подходящем смысле).

волокнистый продукт

Учитывая категорию C и набор I , произведение слоев над объектом S семейства объектов X _i в C, индексированного I, является произведением семейства в категории среза. $C_{/S}$ C (при условии , над S что существуют $X_{i}\to S$). Расслоенное произведение двух объектов X и Y над объектом S обозначается через $X\times _{S}Y$ и еще называется декартовым квадратом .

фильтрованный

1. Фильтрованная категория (также называемая категорией фильтранта) — это непустая категория со свойствами (1) заданных объектов i и j , существуют объект k и морфизмы i → k и j → k и (2) заданные морфизмы u , v : i → j , существуют объект k и морфизм w : j → k такие, что w ∘ u = w ∘ v . Категория I фильтруется тогда и только тогда, когда для каждой конечной категории J и функтора f : J → I множество $\varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)$ непусто для некоторого объекта i в I .

2. Для данного кардинального числа π категория называется π-фильтрантной, если для каждой категории J, множество морфизмов которой имеет кардинальное число строго меньше π, множество $\varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)$ непусто для некоторого объекта i в I .

финитная монада

Финитарная монада или алгебраическая монада — это монада на множестве , основной эндофунктор которой коммутирует с отфильтрованными копределами.

конечный

Категория является конечной, если она имеет лишь конечное число морфизмов.

забывчивый функтор

Грубо говоря, функтор забывания — это функтор, который теряет часть данных объектов; например, функтор $\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set}$ который отправляет группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в себя - это функтор забывания.

бесплатная категория

бесплатная категория

бесплатное завершение

бесплатное завершение , бесплатное дозавершение .

свободный функтор

является Свободный функтор левым сопряженным к забывчивому функтору. Например, для кольца R функтор, который отправляет множество X в свободный R -модуль, порожденный X, является свободным функтором (отсюда и название).

Категория Фробениуса

Категория Фробениуса — это точная категория , имеющая достаточное количество инъективных и достаточно проективных объектов и такая, что класс инъективных объектов совпадает с классом проективных объектов.

Категория Фукая

См. категорию Фукая .

полный

1. Функтор является полным , если он сюръективен при ограничении на каждое hom-множество .

2. Категория A является полной подкатегорией категории B, если функтор включения из A в B полон.

функтор

Для данных категорий C , D функтор C F из C в D является сохраняющим структуру отображением в из D ; т. е. он состоит из объекта F ( x ) в D для каждого объекта x в C и морфизма F ( f ) в D для каждого морфизма f в C, удовлетворяющего условиям: (1) $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$ в любое время $f\circ g$ определено и (2) $F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}$. Например,

${\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)$,

где ${\mathfrak {P}}(S)$ является набором степеней S функции является функтором, если мы определим: для каждой $f:S\to T$, ${\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)$ к ${\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)$.

категория функтора

Категория функтора Fct ( C , D ) или $D^{C}$ из категории C в категорию D — это категория, в которой объектами являются все функторы из C в D , а морфизмами — все естественные преобразования между функторами.

Г

Теорема Габриэля – Попеску

Теорема Габриэля-Попеску гласит, что абелева категория является фактором категории модулей.

Категория Галуа

1. В SGA 1 , Expose V (определение 5.1.) категория называется категорией Галуа , если она эквивалентна категории конечных G -множеств для некоторой проконечной группы G .

2. По техническим причинам некоторые авторы (например, проект Stacks или ) используют немного другие определения.

генератор

В категории C семейство объектов $G_{i},i\in I$ является системой образующих C , если функтор $X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)$ является консервативным. Ее двойственная система называется системой когенераторов.

обобщенный

обобщенное метрическое пространство .

Серый

1. Тензорное произведение Грея является слабым аналогом декартова произведения.

2. Категория Грея – это некоторая полустрогая 3-категория; см. https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category

большие советы

Понятие gros topos (топологических пространств) принадлежит Жану Жиро .

Теория Галуа Гротендика.

Теоретико-категорное обобщение теории Галуа ; см. теорию Галуа Гротендика .

Категория Гротендика

Категория Гротендика — это определенный вид абелевой категории с хорошим поведением.

Строительство Гротендика

Учитывая функтор $U:C\to \mathbf {Cat}$, пусть D _U будет категорией, в которой объектами являются пары ( x , u ), состоящие из объекта x в C и объекта u в категории U ( x ) и морфизма из ( x , u ) в ( y , v ) — пара, состоящая из морфизма f : x → y в C и морфизма U ( f )( u ) → v в U ( y ). Переход от к DU называется _U тогда конструкцией Гротендика .

Расслоение Гротендика

категория Слоистая .

группоид

1. Категория называется группоидом , если каждый морфизм в ней является изоморфизмом.

2. ∞-категория называется ∞-группоидом , если каждый морфизм в ней является эквивалентностью (или, что то же самое, если она является кановским комплексом ).

ЧАС

Алгебра Холла категории

См. алгебру Рингеля – Холла .

сердце

Сердце структуры Т -образной ( $D^{\geq 0}$, $D^{\leq 0}$) в триангулированной категории — это пересечение $D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}$. Это абелева категория.

Теория высших категорий

Теория высших категорий — это раздел теории категорий, который занимается изучением n -категорий и ∞-категорий .

гомологическое измерение

Гомологическая размерность абелевой категории с достаточным количеством инъективных — это наименьшее неотрицательное целое число n такое, что каждый объект в категории допускает инъективное разрешение длины не более n . Размерность равна ∞, если такого целого числа не существует. Например, гомологическая размерность Mod _R с областью главных идеалов R не превосходит единицы.

гомотопическая категория

См. категорию гомотопий . Это тесно связано с локализацией категории .

гомотопическая гипотеза

Гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоид является пространством (менее двусмысленно, n -группоид может использоваться как гомотопический n -тип.)

я

идемпотент

Эндоморфизм f идемпотентен , если $f\circ f=f$.

личность

1. Тождественный морфизм f объекта A — это морфизм из A в A такой, что для любых морфизмов g с областью определения A и h с областью определения A , $g\circ f=g$ и $f\circ h=h$.

2. Тождественный функтор в категории C — это функтор из C в C , который переводит объекты и морфизмы в самих себя.

3. Для функтора F : C → D тождественное естественное преобразование из F в F естественным преобразованием, состоящим из тождественных морфизмов F ( X ) в D для объектов X в C. является

изображение

Образ морфизма f : X → Y является эквалайзером $Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y$.

в пределе

Копредел (или индуктивный предел) в $\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$.

индуктивный предел

Другое название копредела .

∞-категория

получается ∞-категория из категории заменой класса/множества объектов и морфизмов пространствами объектов и морфизмов. Точнее, ∞-категория C — это симплициальное множество, следующему условию: для каждого 0 < i < n удовлетворяющее

• каждая карта симплициальных множеств $f:\Lambda _{i}^{n}\to C$ продолжается до n -симплекса $f:\Delta ^{n}\to C$

где ∆ ^н является стандартным n -симплексом и $\Lambda _{i}^{n}$ получается из ∆ ^н удалив i -ю грань и внутреннюю часть (см. Кановское расслоение#Определения ). Например, нерв категории удовлетворяет условию и, следовательно, может рассматриваться как ∞-категория.

(∞, n )-категория

получается (∞, n )-категория из ∞-категории заменой пространства морфизмов (∞, n - 1)-категорией морфизмов.

исходный

1. Объект A является инициальным соответствует ровно один морфизм из A , если каждому объекту ; например, пустой набор в Set .

2. Объект A в ∞-категории C является начальным, если $\operatorname {Map} _{C}(A,B)$ стягиваемо в каждого объекта B C . для

инъективный

1. Объект A абелевой категории инъективен , если функтор $\operatorname {Hom} (-,A)$ это точно. Это двойник проективного объекта.

2. Термин «инъективный предел» — это другое название прямого предела .

внутренний дом

Для моноидальной категории ( C , ⊗) внутренний Hom является функтором $[-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C$ такой, что $[Y,-]$ является правым сопряжением с $-\otimes Y$ для каждого Y в C. объекта Например, категория модулей над коммутативным кольцом R имеет внутренний Hom, заданный как $[M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$, множество R -линейных отображений.

обратный

1. Морфизм f является обратным морфизму g , если $g\circ f$ определен и равен тождественному морфизму в кодомене g , и $f\circ g$ определен и равен тождественному морфизму в области определения g . Обратное к g уникально и обозначается g ⁻¹ . f является левым обратным к g, если $f\circ g$ определен и равен тождественному морфизму в области определения g , и аналогично для правого обратного.

2. Обратный предел — это предел обратной системы .

Исбелл

1. Дуальность Исбелла / сопряженность Исбелла.

2. Завершение Исбелла .

3. Конверт Isbell .

изоморфный

1. Объект изоморфен другому объекту, если между ними существует изоморфизм.

2. Категория изоморфна другой категории, если между ними существует изоморфизм.

изоморфизм

Морфизм f является изоморфизмом , если существует обратный к f .

К

Может быть сложным

Комплекс Кана — это фибрантный объект в категории симплициальных множеств.

Может расширение

1. Для категории C левый функтор расширения Кана вдоль функтора $f:I\to J$ является левым сопряженным (если оно существует) к $f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)$ и обозначается $f_{!}$. Для любого $\alpha :I\to C$, функтор $f_{!}\alpha :J\to C$ называется левым кановским расширением α вдоль f . Можно показать:

$(f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)$

где копредел проходит по всем объектам $f(i)\to j$ в категории запятой.

2. Правый функтор расширения Кана является правым сопряженным (если он существует) к $f^{*}$.

Лемма Кена Брауна

Лемма Кена Брауна — это лемма теории модельных категорий.

Категория Клейсли

Для монады T T категория Клейсли является -алгебр (называемой категорией Эйленберга – Мура) , полной подкатегорией категории T которая состоит из свободных T -алгебр.

л

слабый

Слабый функтор — это обобщение псевдофунтора , в котором структурные преобразования, связанные с композицией и тождествами, не обязаны быть обратимыми.

длина

Говорят, что объект абелевой категории имеет конечную длину, если он имеет композиционный ряд . серии называется длиной A Максимальное количество собственных подобъектов в любой такой композиционной .

предел

1. Предел (или проективный предел ) функтора. $f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set}$ является

$\varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.$

2. Предел $\varprojlim _{i\in I}f(i)$ функтора $f:I^{\text{op}}\to C$ является объектом в C , если таковой имеется, который удовлетворяет следующим условиям: для любого объекта X в C , $\operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))$; т. е. это объект, представляющий функтор $X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).$

3. Копредел (или индуктивный предел ) $\varinjlim _{i\in I}f(i)$ является двойственным пределу; т. е. с учетом функтора $f:I\to C$, оно удовлетворяет: для любого X , $\operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)$. Явно дать $\varinjlim f(i)\to X$ состоит в том, чтобы дать семейство морфизмов $f(i)\to X$ такой, что для любого $i\to j$, $f(i)\to X$ является $f(i)\to f(j)\to X$. Возможно, самый простой пример копредела — это эквалайзер . В качестве другого примера возьмем f в качестве тождественного функтора на C и предположим, что $L=\varinjlim _{X\in C}f(X)$ существует; то тождественный морфизм на L соответствует совместимому семейству морфизмов $\alpha _{X}:X\to L$ такой, что $\alpha _{L}$ это личность. Если $f:X\to L$ — любой морфизм, то $f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}$; т. е. L является конечным объектом C .

локализация категории

См. локализацию категории .

М

Условие Миттаг-Леффлера

Обратная система $\cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}$ Говорят, что оно удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера, если для каждого целого числа $n\geq 0$, существует целое число $m\geq n$ такой, что для каждого $l\geq m$, изображения $X_{m}\to X_{n}$ и $X_{l}\to X_{n}$ одинаковы.

монада

Монада . в категории X — это моноидный объект в моноидальной категории эндофункторов X с моноидальной структурой, заданной композицией Например, для группы G определите эндофунктор T на Set с помощью $T(X)=G\times X$. Затем определите умножение µ на ​​T как естественное преобразование $\mu :T\circ T\to T$ данный

$\mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)$

определим тождественное отображение η а также аналогичным образом . Тогда ( T , µ , η ) образует монаду в Set . Более существенно, присоединение между функторами $F:X\rightleftarrows A:G$ определяет монаду в X ; а именно, берут $T=G\circ F$, тождественное отображение η на T является единицей присоединения, а также определяет µ с помощью присоединения.

монадический

1. Присоединение называется монадическим, если оно происходит из монады, которую оно определяет с помощью категории Эйленберга–Мура (категории алгебр для монады).

2. Функтор называется монадическим, если он является конституентой монадического присоединения.

моноидальная категория

, Моноидальная категория также называемая тензорной категорией, — это категория C, снабженная (1) бифунктором $\otimes :C\times C\to C$, (2) тождественный объект и (3) естественные изоморфизмы, которые делают ⊗ ассоциативным, а тождественный объект тождественным для ⊗, при соблюдении определенных условий когерентности.

моноидный объект

Моноидный объект в моноидальной категории — это объект вместе с картой умножения и картой идентичности, которые удовлетворяют ожидаемым условиям, таким как ассоциативность. Например, моноидный объект в Set а моноидный объект в R -mod — это ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R. — это обычный моноид (полугруппа с единицей) ,

мономорфизм

Морфизм f называется мономорфизмом (также называемым монным), если $g=h$ в любое время $f\circ g=f\circ h$; например, инъекция в Set . Другими словами, f является двойственным эпиморфизму.

многокатегорийный

Мультикатегория — это обобщение категории, в которой морфизму разрешено иметь более одного домена. Это то же самое, что цветная операда .

Н

n -категория

[T] Вопрос сравнения определений слабой n -категории является скользким, поскольку трудно сказать, что вообще означает эквивалентность двух таких определений. [...] Широко распространено мнение, что структура, образованная слабыми n -категориями и функторами, преобразованиями ... между ними, должна быть слабой ( n + 1)-категорией; и если это так, то вопрос в том, эквивалентна ли ваша слабая ( n + 1)-категория слабых n- категорий моей, но чье определение слабой ( n + 1)-категории мы здесь используем...?

Том Ленстер, Обзор определений n -категории

1. Строгая n -категория определяется индуктивно: строгая 0-категория — это множество, а строгая n -категория — это категория, Hom-множества которой являются строгими ( n -1)-категориями. Точнее, строгая n -категория — это категория, обогащенная строгими ( n -1)-категориями. Например, строгая 1-категория — это обычная категория.

2. Понятие слабой n -категории получается из строгой путем ослабления условий типа ассоциативности композиции, чтобы они выполнялись только до когерентных изоморфизмов в слабом смысле.

3. Можно определить ∞-категорию как своего рода колим из n -категорий. имеется понятие (слабой) ∞-категории (скажем, квазикатегории ) И наоборот, если вначале , то слабая n -категория может быть определена как тип усеченной ∞-категории.

естественный

1. Естественное преобразование — это, грубо говоря, отображение между функторами. А именно, для данной пары функторов F , G из категории C в категорию D естественным преобразованием φ из F в G является набор морфизмов в D.

$\{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}$

удовлетворяющее условию: для каждого морфизма f : x → y в C , $\phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}$. Например, написание $GL_{n}(R)$ для группы обратимых n на матриц размером n с коэффициентами в коммутативном кольце R мы можем рассматривать $GL_{n}$ как функтор из категории коммутативных колец CRing в категорию Grp групп . Сходным образом, $R\mapsto R^{*}$ является функтором от CRing до Grp . Тогда определитель det является естественным преобразованием из $GL_{n}$ к - ^* .

2. Естественный изоморфизм — это естественное преобразование, которое является изоморфизмом (т. е. допускает обратное).

Композиция кодируется как 2-симплекс.

нерв

Нервный функтор N — это функтор от Cat до s Set , заданный формулой $N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)$. Например, если $\varphi$ является функтором в $N(C)_{2}$ (называемый 2-симплексом), пусть $x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2$. Затем $\varphi (0\to 1)$ является морфизмом $f:x_{0}\to x_{1}$ в C , а также $\varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}$ для g в C. некоторого С $0\to 2$ является $0\to 1$ с последующим $1\to 2$ и поскольку $\varphi$ является функтором, $\varphi (0\to 2)=g\circ f$. Другими словами, $\varphi$ кодирует f , g и их композиции.

нормальный

Мономорфизм нормален, если он является ядром некоторого морфизма, а эпиморфизм конормален, если он является коядром некоторого морфизма. Категория нормальна , если любой мономорфизм нормален.

ТО

объект

1. Объект является частью данных, определяющих категорию.

2. Объект [прилагательное] в категории C — это контравариантный функтор (или предпучок) из некоторой фиксированной категории, соответствующий «прилагательному» к C . Например, симплициальный объект в C — это контравариантный функтор из симплициальной категории в C , а Γ-объект — это заостренный контравариантный функтор из Γ (грубо говоря, заостренная категория заостренных конечных множеств) в C при условии, что C заостренный.

оп-волокно

Функтор π: C → D является оп-расслоением , если для каждого объекта x в C и каждого морфизма g : π( x ) → y в D существует хотя бы один π-кодекартов морфизм f : x → y' в C такой, что π( f ) = g . Другими словами, π — двойственное расслоению Гротендика .

противоположный

Противоположная категория категории получается перестановкой стрелок. Например, если частично упорядоченный набор рассматривается как категория, то принимая его противоположные значения, вы меняете порядок на противоположный.

П

идеальный

Иногда является синонимом слова «компактный». См . идеальный комплекс .

заостренный

Категория (или ∞-категория) называется заостренной, если она имеет нулевой объект.

полиграф

Полиграф – это обобщение ориентированного графа.

полиномиальный

Функтор из категории конечномерных векторных пространств в себя называется полиномиальным функтором , если для каждой пары векторных пространств V , W , F : Hom( V , W ) → Hom( F ( V ), F ( W ) ) — полиномиальное отображение векторных пространств. Функтор Шура является базовым примером.

доабелев

Преабелева категория — это аддитивная категория, имеющая все ядра и коядра.

преаддитив

Категория является преаддитивной , если она обогащена моноидальной категорией абелевых групп . В более общем смысле, оно является R -линейным , если оно обогащено моноидальной категорией R -модулей , поскольку R — коммутативное кольцо .

презентабельный

Для правильного кардинала κ категория называется κ-представимой, если она допускает все малые копределы и κ-доступна . Категория представима, если она κ-представима для некоторого регулярного кардинала κ (следовательно, представима для любого большего кардинала). Примечание . Некоторые авторы называют презентабельную категорию локально презентабельной категорией .

предсноп

Другой термин для контравариантного функтора: функтор из категории C. ^на to Set — это предпучок множеств на C и функтор из C ^на to s Set — это предпучок симплициальных множеств или симплициальный предпучок и т. д. Топология на C , если таковая имеется, сообщает, какой предпучок является пучком (относительно этой топологии).

продукт

1. Произведение семейства объектов X _i в категории C , индексированного множеством I, является проективным пределом. $\varprojlim$ функтора $I\to C,\,i\mapsto X_{i}$, где I рассматривается как дискретная категория. Это обозначается $\prod _{i}X_{i}$ и является двойственным копроизведением семейства.

2. Произведением семейства категорий C _i , индексированного множеством I, является категория, обозначаемая $\prod _{i}C_{i}$ чей класс объектов является произведением классов объектов C _i и чьи hom-множества являются $\prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})$; морфизмы составляются покомпонентно. Это двойник непересекающегося союза.

профунктор

Для данных категорий C и D профунктор C (или дистрибьютор) из в D является функтором вида $D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set}$.

проективный

1. Объект A абелевой категории проективен, если функтор $\operatorname {Hom} (A,-)$ это точно. Это двойник инъективного объекта.

2. Термин «проективный предел» — это другое название обратного предела .

ПРОП

PROP — это симметричная строгая моноидальная категория, объектами которой являются натуральные числа и чье тензорное произведение натуральных чисел.

псевдоалгебра

Псевдоалгебра — это 2-категориальная версия алгебры для монады (с заменой монады на 2-монаду).

вопрос

вопрос

Q-категория .

Квиллен

Теорема Квиллена А дает критерий слабой эквивалентности функтора.

квазиабелев

категория квазиабелева .

квазитопос

квазитопос ​ .

Р

отражать

1. Говорят, что функтор отражает тождества, если он обладает свойством: если F ( k ) тождество, то k тоже тождество.

2. Функтор называется отражающим изоморфизмы, если он обладает свойством: F ( k ) — изоморфизм, то k — также изоморфизм.

обычный

категория Обычная .

представительный

Многозначный контравариантный функтор F в категории C называется представимым , если он принадлежит существенному образу вложения Йонеды $C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$; то есть, $F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)$ для некоторого Z. объекта Говорят, что объект Z является представляющим объектом F .

опровержение

f — это ретракция g . g — это часть f .

Морфизм является ретракцией , если он имеет правый обратный.

буровая установка

Категория буровой установки — это категория с двумя моноидальными структурами, одна из которых распределяется над другой.

С

раздел

Морфизм называется сечением , если он имеет левый обратный. Например, аксиома выбора гласит, что любая сюръективная функция допускает сечение.

Сигал

1. Состояние Сигала . На данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition.

2. Пространствами Сигала назывались некоторые симплициальные пространства, введенные как модели для (∞, 1)-категорий .

полуабелев

категория Полуабелева .

полупростой

Абелева категория является полупростой , если каждая короткая точная последовательность расщепляется. Например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда категория модулей над ним полупроста.

Оператор пилы

Для k -линейной категории C над полем k функтор Серра $f:C\to C$ является автоэквивалентностью такой, что $\operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}$ для любых A , B. объектов

простой объект

Простой объект в абелевой категории — это объект A который не изоморфен нулевому объекту и каждый подобъект которого изоморфен нулю или A. , Например, простой модуль — это именно простой объект в категории (скажем, левых) модулей.

симплексная категория

Симплексная категория Δ — это категория, в которой объектом является множество [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0, полностью упорядоченное стандартным образом, а морфизм является функцией, сохраняющей порядок.

симплициальная категория

Категория, обогащенная симплициальными множествами.

Упрощенная локализация

Симплициальная локализация — это метод локализации категории.

симплициальный объект

Симплициальный объект в категории C — это примерно последовательность объектов. $X_{0},X_{1},X_{2},\dots$ в C, образующий симплициальное множество. это ковариантный или контравариантный функтор ∆ → C. Другими словами , Например, симплициальный предпучок — это симплициальный объект в категории предпучков.

Симпсон

Гипотеза о полустрикфикации Симпсона (поскольку на данный момент это радикальная связь, см. [2] ).

симплициальное множество

Симплициальное множество — это контравариантный функтор из Δ в Set , где Δ — симплексная категория , категория, объектами которой являются множества [ n ] = { 0, 1, …, n } и чьи морфизмы являются функциями, сохраняющими порядок. Один пишет $X_{n}=X([n])$ и элемент множества $X_{n}$ называется n -симплексом. Например, $\Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])$ представляет собой симплициальное множество, называемое стандартным n -симплексом. По лемме Йонеды $X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)$.

сайт

Категория, оснащенная топологией Гротендика .

скелетный

1. Категория является скелетной , если изоморфные объекты обязательно идентичны.

2. (Не уникальный) скелет категории — это полная подкатегория, являющаяся скелетной.

кусочек

Учитывая категорию C и объект A в ней, категория срезов C _{/ A} над C с A — это категория, объектами которой являются все морфизмы в C кодовой областью A , чьи морфизмы являются морфизмами в C такими, что если f — морфизм из $p_{X}:X\to A$ к $p_{Y}:Y\to A$, затем $p_{Y}\circ f=p_{X}$ в C и чей состав соответствует составу C .

маленький

1. Малая категория — это категория, в которой класс всех морфизмов является множеством ( т. е. не является собственным классом ); в противном случае большой . Категория является локально малой , если морфизмы между каждой парой объектов A и B образуют множество. Некоторые авторы предполагают, что в основе лежит совокупность всех классов, образующих «конгломерат», и в этом случае квазикатегория — это категория, объекты и морфизмы которой просто образуют конгломерат . (Примечание: некоторые авторы употребляют термин «квазикатегория» в другом значении. )

2. Объект категории называется малым, если он κ-компакт для некоторого регулярного кардинала κ. Квайлена о Это понятие заметно появляется в аргументе маленьком объекте (см. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument ).

разновидность

— (Комбинаторный) вид это эндофунктор на группоиде конечных множеств с биекциями. Это категорически эквивалентно симметричной последовательности .

стабильный

∞-категория стабильна , если (1) она имеет нулевой объект, (2) каждый морфизм в ней допускает слой и кослой и (3) треугольник в ней является последовательностью слоев тогда и только тогда, когда он является последовательностью кослоев. .

строгий

Морфизм f в категории, допускающей конечные пределы и конечные копределы, является строгим , если естественный морфизм $\operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)$ является изоморфизмом.

строгая n -категория

Строгая 0-категория — это множество, и для любого целого числа n > 0 строгая n -категория — это категория, обогащенная строгими ( n -1)-категориями. Например, строгая 1-категория — это обычная категория. Примечание : термин « n -категория» обычно относится к « слабой n -категории »; не строгий.

ужесточение

Стрикификация — это процесс замены слабо выполняемых равенств (т. е. с точностью до когерентного изоморфизма) действительными равенствами.

субканонический

Топология категории является субканонической , если каждый представимый контравариантный функтор на C является пучком относительно этой топологии. Вообще говоря, некоторая плоская топология может не быть субканонической; но плоские топологии, возникающие на практике, имеют тенденцию быть субканоническими.

подкатегория

Категория A является подкатегорией категории B, если существует функтор включения из A в B .

подобъект

Учитывая объект A в категории, подобъект A A является классом эквивалентности ; мономорфизмов два мономорфизма f , g считаются эквивалентными, если f факторизуется через g и g факторизуется через f .

подчастное

Субфактор — это фактор подобъекта.

субтерминальный объект

— Субтерминальный объект это объект X каждый объект которого имеет не более одного морфизма в X. ,

симметричная моноидальная категория

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория (т. е. категория с ⊗), имеющая максимально симметричное переплетение.

симметричная последовательность

Симметричная последовательность — это последовательность объектов с действиями симметричных групп . Он категорически эквивалентен (комбинаторному) виду .

Т

Т-образная структура

T -структура — это дополнительная структура триангулированной категории (в более общем смысле стабильной ∞-категории ), которая аксиоматизирует понятия комплексов, чьи когомологии сосредоточены в неотрицательных или неположительных степенях.

Таннакская двойственность

Таннакианская двойственность утверждает, что в подходящей ситуации, чтобы задать морфизм $f:X\to Y$ это дать функтор обратного хода $f^{*}$ вдоль него. Другими словами, множество Hom $\operatorname {Hom} (X,Y)$ можно отождествить с категорией функтора $\operatorname {Fct} (D(Y),D(X))$, возможно, в производном смысле , где $D(X)$ — категория, связанная с X (например, производная категория).

тензорная категория

Обычно является синонимом моноидальной категории (хотя некоторые авторы различают эти два понятия).

тензорная триангулированная категория

Тензорная триангулированная категория — это категория, которая совместимым образом несет структуру симметричной моноидальной категории и структуры триангулированной категории.

тензорное произведение

Для моноидальной категории B тензорное произведение функторов $F:C^{\text{op}}\to B$ и $G:C\to B$ это соучастник:

$F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).$

Терминал

1. Объект A является терминальным (также называемым финальным), если существует ровно один морфизм каждого объекта в A ; например, синглтоны в Set . Это двойник исходного объекта .

2. Объект A в ∞-категории C терминален, если $\operatorname {Map} _{C}(B,A)$ сжимаемо C каждого объекта B в . для

толстая подкатегория

Полная подкатегория абелевой категории является толстой , если она замкнута относительно расширений.

тонкий

Тонкая категория — это категория, в которой между любой парой объектов существует не более одного морфизма.

крошечный

Крохотный предмет . На данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+object.

топологический топос

Топологический топос , возможный заменитель категории топологических пространств. См. https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html.

триангулированная категория

Триангулированная категория — это категория, в которой можно говорить о выделенных треугольниках, обобщении точных последовательностей. Абелева категория является прототипом триангулированной категории. — Производная категория это триангулированная категория, которая не обязательно является абелевой.

В

универсальный

1. Дан функтор $f:C\to D$ и объект X в D , универсальный морфизм из X в f является исходным объектом в категории запятой. $(X\downarrow f)$. (Его двойственный морфизм также называется универсальным морфизмом.) Например, возьмем f. в качестве функтора забывания $\mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set}$ и X набор. Исходный объект $(X\downarrow f)$ это функция $j:X\to f(V_{X})$. То, что оно является начальным, означает, что если $k:X\to f(W)$ — другой морфизм, то существует единственный морфизм из j в k , который состоит из линейного отображения $V_{X}\to W$ который расширяет k через j ; то есть, $V_{X}$ — свободное векторное пространство порожденное X. ,

2. Говоря более явно, при заданном f , как указано выше, морфизм $X\to f(u_{X})$ в D универсально тогда и только тогда, когда естественное отображение

$\operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))$

является биективным. В частности, если $\operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))$, то приняв c за u _X, получим универсальный морфизм, отправив тождественный морфизм. Другими словами, наличие универсального морфизма эквивалентно представимости функтора $\operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))$.

В

Категория Вальдхаузена

Категория Вальдхаузена — это, грубо говоря, категория с семействами корасслоений и слабыми эквивалентностями.

мощный

Категория является полнофункциональной, если для каждого объекта существует только набор попарно неизоморфных подобъектов .

И

Йонеда

1.  

Лемма Йонеды утверждает… говоря более выразительно, математический объект X лучше всего мыслить в контексте окружающей его категории и определяется сетью отношений, которыми он обладает со всеми объектами этой категории. Более того, для понимания X, возможно, было бы более уместно иметь дело непосредственно с представляющим его функтором. Это напоминает «языковую игру» Витгенштейна; то есть, что значение слова – по сути – определяется, фактически является не чем иным, как его отношением ко всем высказываниям на языке.

Бэрри Мазур , Думая о Гротендике

гласит Лемма Йонеды : для каждого многозначного контравариантного функтора F на C и объекта X в C существует естественная биекция

$F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)$

где Nat означает множество естественных преобразований. В частности, функтор

$y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)$

полностью верен и называется вложением Йонеды.

2. Если $F:C\to D$ функтором и y является вложением Йонеды C , то расширение Йонеды F y является левым расширением Кана F вдоль является .

С

ноль

Нулевой объект — это объект, который является одновременно начальным и конечным, например тривиальная группа в Grp .

Ссылки

• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Теория топоса и стандартные когомологии схем . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 269.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX+525. дои : 10.1007/BFb0081551 . ISBN  978-3-540-05896-0 .
• Гротендик, Александр (1971). Revêtements Etales et Groupe Fondamental . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 224. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xxii+447. дои : 10.1007/BFb0058656 . ISBN  978-3-540-05614-0 . МР   0354651 .
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки .
• А. Джоял , Теория квазикатегорий II (Том I отсутствует??)
• Лурье Дж . Высшая алгебра.
• Лурье Дж. Теория высшего топоса.
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .
• Вистоли, Анджело (28 декабря 2004 г.). «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска». arXiv : математика/0412512 .

Дальнейшее чтение

• Грот, М., Краткий курс по ∞-категориям. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine.
• Заметки Цисинского
• История теории топоса
• Ленстер, Том (2014). Базовая теория категорий . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 143. Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . Бибкод : 2016arXiv161209375L .
• Ленстер, Высшие операды, высшие категории , 2003.
• Эмили Риль, Неторопливое введение в симплициальные множества
• по категориальной логике Конспекты лекций Стива Аводи
• Стрит, Росс (20 марта 2003 г.). «Категорические и комбинаторные аспекты теории происхождения». arXiv : math/0303175 . (подробное обсуждение 2-категории)
• Ловер, Категории пространств не могут быть обобщенными пространствами, примером которых являются ориентированные графы.
• Теория категорий в Стэнфордской энциклопедии философии