Полуабелева категория

В математике , особенно в теории категорий , полуабелева категория — это предабелева категория , в которой индуцированный морфизм ${\overline {f}}:\operatorname {coim} f\rightarrow \operatorname {im} f$ является биморфизмом , т. е. мономорфизмом и эпиморфизмом для любого морфизма $f$.

Свойства

Два свойства, использованные в определении, можно охарактеризовать несколькими эквивалентными условиями.

Каждая полуабелева категория имеет максимальную точную структуру .

Если полуабелева категория не является квазиабелевой , то класс всех пар ядро-коядро не образует точную структуру .

Примеры

Любая квазиабелева категория полуабелева. В частности, каждая абелева категория полуабелева. Неквазиабелевыми примерами являются следующие.

• Категория ( возможно, нехаусдорфовых ) полуабелева борнологических пространств .
• Позволять $Q$ быть колчаном

${\begin{array}{ccc}1&\xrightarrow {} &2&\xleftarrow {} &3\\\downarrow {}&&\downarrow {}&&\downarrow {}\\4&\xrightarrow {} &5&\xleftarrow {} &6\\\end{array}}$

и $K$ быть полем . Категория конечно порожденных проективных модулей над алгеброй $KQ$ является полуабелевым.

История

Концепция полуабелевой категории была разработана в 1960-х годах. Райков предположил , что понятие квазиабелевой категории эквивалентно понятию полуабелевой категории. Примерно в 2005 году выяснилось, что эта гипотеза неверна.

Левая и правая полуабелевы категории

Разделив два условия на индуцированном отображении в определении, можно определить левые полуабелевы категории , потребовав, чтобы ${\overline {f}}$ является мономорфизмом для каждого морфизма $f$. Соответственно, правополуабелевы категории — это доабелевы категории такие, что ${\overline {f}}$ является эпиморфизмом для каждого морфизма $f$.

Если категория полуабелева слева и квазиабелева справа , то она уже квазиабелева. То же самое верно, если категория полуабелева справа и квазиабелева слева.

Ссылки

• Хосе Боне , Ж., Сюзанна Дирольф , Откат к борнологическим и ультраборнологическим пространствам. Примечание Мат. 25(1), 63–67 (2005/2006).
• Ярослав Копылов и Свен-Аке Вегнер, О понятии полуабелевой категории в смысле Паламодова, Прикл. Катег. Структуры 20 (5) (2012) 531–541.
• Вольфганг Рамп, Контрпример к гипотезе Райкова, Бюлл. Лондонская математика. Соц. 40, 985–994 (2008).
• Вольфганг Рамп, Почти абелевы категории, Cahiers Topologie Geom. Дифференциальная категория 42(3), 163–225 (2001).
• Вольфганг Румп, Анализ проблемы Райкова с приложениями к бочоночным и борнологическим пространствам, J. Pure and Appl. Алгебра 215, 44–52 (2011).
• Деннис Зиг и Свен-Аке Вегнер, Максимально точные структуры в аддитивных категориях, Матем. Нахр. 284 (2011), 2093–2100.