Квазиабелева категория

В математике , особенно в теории категорий , квазиабелева категория — это предабелева категория , в которой выталкивание ядра вдоль произвольных морфизмов снова вдоль произвольных морфизмов снова является ядром и, двойственно, возвращение коядра является коядром.

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть предабелевой категорией . Морфизм $f$ является ядром ( коядром ), если существует морфизм $g$ такой, что $f$ является ядром (коядром) $g$. Категория ${\mathcal {A}}$ квазиабелева , если для любого ядра $f:X\rightarrow Y$ и каждый морфизм $h:X\rightarrow Z$ на схеме выталкивания

${\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\downarrow _{h}&&\downarrow _{h'}\\Z&{\xrightarrow {f'}}&Q\end{array}}$

морфизм $f'$ снова является ядром и, двойственно, для всякого коядра $g:X\rightarrow Y$ и каждый морфизм $h:Z\rightarrow Y$ на диаграмме отката

${\begin{array}{ccc}P&{\xrightarrow {g'}}&Z\\\downarrow _{h'}&&\downarrow _{h}\\X&{\xrightarrow {g}}&Y\end{array}}$

морфизм $g'$ снова является коядром.

Эквивалентно, квазиабелева категория — это предабелева категория, в которой система всех пар ядро-коядро образует точную структуру .

Учитывая преабелеву категорию, те ядра, которые устойчивы относительно произвольных выталкиваний, иногда называют полустабильными ядрами . Двойственным образом коядра, устойчивые относительно произвольных образов, называются полустабильными коядрами .

Свойства

Позволять $f$ — морфизм квазиабелевой категории. Тогда индуцированный морфизм ${\overline {f}}:\operatorname {cok} \ker f\to \ker \operatorname {cok} f$ всегда является биморфизмом , т. е. мономорфизмом и эпиморфизмом . Поэтому квазиабелева категория всегда полуабелева .

Примеры

Каждая абелева категория квазиабелева. Типичные неабелевы примеры возникают в функциональном анализе.

• Категория банаховых пространств квазиабелева.
• Категория пространств Фреше квазиабелева.
• Категория ( Хаусдорфовых ) локально выпуклых пространств квазиабелева.

История

Концепция квазиабелевой категории была разработана в 1960-х годах. История задействована. Это, в частности, связано с гипотезой Райкова , которая утверждала, что понятие полуабелевой категории эквивалентно понятию квазиабелевой категории. Примерно в 2005 году выяснилось, что эта гипотеза неверна.

Левая и правая квазиабелевы категории

Разделив два условия в определении, можно определить левые квазиабелевы категории , потребовав, чтобы коядра были устойчивы при откатах, и правые квазиабелевы категории , потребовав, чтобы ядра были устойчивы при выталкиваниях.

Ссылки

• Фабьен Просманс, Производные категории для функционального анализа. Опубл. Рез. Инст. Математика. наук. 36(5–6), 19–83 (2000).
• Фред Ричман и Элберт А. Уокер, Ext в доабелевых категориях. Пак. Дж. Математика. 71(2), 521–535 (1977).
• Вольфганг Рамп, Контрпример к гипотезе Райкова, Бюлл. Лондонская математика. Соц. 40, 985–994 (2008).
• Вольфганг Рамп, Почти абелевы категории, Cahiers Topologie Geom. Дифференциальная категория 42(3), 163–225 (2001).
• Вольфганг Румп, Анализ проблемы Райкова с приложениями к бочоночным и борнологическим пространствам, J. Pure and Appl. Алгебра 215, 44–52 (2011).
• Жан Пьер Шнайдерс, Квазиабелевы категории и пучки, Mém. Соц. Математика. о. новый Сер. 76 (1999).