Категория малых категорий

В математике , особенно в теории категорий , категория малых категорий , обозначаемая Cat , — это категория , все объекты которой являются малыми категориями и чьи морфизмы являются функторами между категориями. На самом деле Cat можно рассматривать как 2-категорию с естественными преобразованиями, служащими 2-морфизмами .

Исходным объектом Cat является пустая категория 0 , которая является категорией отсутствия объектов и морфизмов. Терминальный объект — это терминальная категория или тривиальная категория 1 с единственным объектом и морфизмом.

Категория Cat сама по себе является большой категорией и, следовательно, не является самостоятельным объектом. Чтобы избежать проблем, аналогичных парадоксу Рассела, нельзя формировать «категорию всех категорий». Но возможно сформировать квазикатегорию (то есть объекты и морфизмы просто образуют конгломерат ) всех категорий.

Бесплатная категория

Основная статья: Бесплатная категория

Категория Cat имеет забывчивый функтор U в категорию колчанов Quiv :

U : Кот → Кив

Этот функтор забывает тождественные морфизмы данной категории и композиции морфизмов. Левым сопряженным к этому функтору является функтор F , переводящий Quiv в соответствующие свободные категории :

F : Quiv → Кот

1-Категорийные свойства

• У Cat есть все малые пределы и копределы .
• Cat — декартова замкнутая категория с экспоненциальной $D^{C}$ задается категорией функтора $\mathrm {Fun} (C,D)$.
• Cat является не локально декартово замкнутым.
• Cat представим локально конечно .

См. также

• Нерв категории
• Универсальный набор , понятие «множества всех множеств».

Ссылки

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки .

Внешние ссылки

• Кот в лаборатории ​