Строгая 2-категория
В теории категорий строгая 2-категория — это категория с « морфизмами между морфизмами», то есть где каждое hom-множество само по себе несет структуру категории. Формально его можно определить как категорию, Cat обогащенную ( категория категорий и функторов с моноидальной структурой, заданной произведением категорий ).
Понятие 2-категорий было впервые введено Чарльзом Эресманном в его работе по расширенным категориям в 1965 году. [1] Более общее понятие бикатегории (или слабой 2- категории ), где композиция морфизмов ассоциативна только с точностью до 2-изоморфизма, было введено в 1968 году Жаном Бенабу . [2]
Определение [ править ]
2-категория С состоит из:
- Класс клеток 0- ( или объектов ) A , B , ....
- Для всех объектов A и B существует категория . Объекты этой категории называются 1- клетками , а ее морфизмы называются 2- ячейками ; композиция в этой категории обычно пишется или и называется вертикальной композицией или композицией вдоль 1- клетки .
- Для любого объекта A существует функтор из терминальной категории (с одним объектом и одной стрелкой) в который выбирает идентификатор 1-ячейки A на и его идентификатор 2-ячейки id A A . На практике эти два часто обозначаются A. просто
- Для всех объектов A , B и C существует функтор , называемая горизонтальной композицией или композицией вдоль 0-ячейки , которая является ассоциативной и допускает [ нужны разъяснения ] тождество 1 и 2-ячейки id A как тождества. Здесь ассоциативность для означает, что горизонтальное составление дважды, чтобы не зависит от того, какой из двух и составляются первыми. Символ композиции часто опускается, горизонтальная композиция из двух ячеек и пишется просто как .
Терминология 0-клеток , 1-клеток и 2-клеток заменена на 0-морфизмы , 1-морфизмы и 2-морфизмы в некоторых источниках. [3] (см. также Теорию высших категорий ).
Понятие 2-категории отличается от более общего понятия бикатегории тем , что композиция 1-клеток (горизонтальная композиция) должна быть строго ассоциативной, тогда как в бикатегории она должна быть ассоциативной только с точностью до 2-изоморфизма. Аксиомы 2-категорий являются следствием их определения как Cat категорий, обогащенных :
- Вертикальная композиция ассоциативна и унитарна, единицами являются тождественные 2-ячейки id f .
- Горизонтальная композиция также (строго) ассоциативна и унитарна, единицами являются тождественные 2-ячейки id id A на тождественных 1-ячейках id A .
- Закон обмена действует; т.е. верно, что для составных 2-клеток
Закон обмена следует из того, что является функтором между домашними категориями. Его можно нарисовать в виде диаграммы вставки следующим образом:
![]() |
= | ![]() |
= | ![]() |
![]() | |
![]() |
Здесь левая диаграмма обозначает вертикальную композицию горизонтальных композитов, правая диаграмма обозначает горизонтальную композицию вертикальных композитов, а диаграмма в центре представляет собой обычное представление обоих. 2 -ячейка нарисована двойными стрелками ⇒, 1-ячейка — одинарными стрелками →, а 0-ячейка — точками.
Примеры [ править ]
Категория Ord (предварительно упорядоченных множеств) является 2-категорией, поскольку предупорядоченные множества можно легко интерпретировать как категории.
Категория небольших категорий [ править ]
Архетипическая 2-категория — это категория малых категорий , естественные преобразования которой служат 2-морфизмами; обычно 2-морфизмы обозначаются греческими буквами (например, выше) по этой причине.
Все объекты ( 0-ячейки ) представляют собой небольшие категории, а для всех объектов A и B категория является функторной категорией . В этом контексте вертикальная композиция [4] состав природных преобразований.
Доктрины [ править ]
В математике доктрина — это просто 2-категория, эвристически рассматриваемая как система теорий. Например, алгебраические теории , изобретенные Уильямом Ловером , являются примером доктрины, как и многосортные теории , операды , категории и топосы .
Объекты 2-категории называются теориями , 1-морфизмы называются моделями A B в , а 2-морфизмы называются морфизмами между моделями.
Различие между 2-категорией и доктриной на самом деле является лишь эвристическим: обычно не считают, что 2-категория населена теориями как объектами и моделями как морфизмами. Именно этот словарь делает теорию доктрин стоящей.
Например, 2-категориальный Кот категорий, функторов и естественных преобразований — это доктрина. Сразу видно, что все категории предпучков являются категориями моделей.
В качестве другого примера можно взять подкатегорию Cat , состоящую только из категорий с конечными произведениями в качестве объектов и функторами, сохраняющими произведение в качестве 1-морфизмов. Это учение о многосортных алгебраических теориях. Если бы кто-то хотел использовать только 1-сортированные алгебраические теории, можно было бы ограничить объекты только теми категориями, которые генерируются в результате продуктов одного объекта.
Доктрины были открыты Джонатаном Мок Беком .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Чарльз Эресманн , Категории и структуры, Дюно, Париж, 1965.
- ^ Жан Бенабу , Введение в бикатегории, в отчетах семинара по категориям Среднего Запада, Springer, Берлин, 1967, стр. 1–77.
- ^ «2-категория в nLab» . ncatlab.org . Проверено 20 февраля 2023 г.
- ^ «вертикальная композиция в nLab» . ncatlab.org . Проверено 20 февраля 2023 г.
Сноски [ править ]
- Обобщенные алгебраические модели Клаудии Чентаццо.
Внешние ссылки [ править ]
СМИ, связанные со строгой 2-категорией, на Викискладе?