Локализация Бусфилда

В теории категорий , разделе математики, (левая) локализация Боусфилда модельной категории заменяет структуру модели другой структурой модели с теми же корасслоениями, но с более слабыми эквивалентностями.

Локализация Боусфилда названа в честь Олдриджа Баусфилда , который впервые представил этот метод в контексте локализации топологических пространств и спектров. ^[1]^[2]

локализации Баусфилда модели Структура категорий

Учитывая класс C морфизмов в модельной категории M, левая локализация Боусфилда представляет собой новую модельную структуру в той же категории, что и раньше. Его эквивалентности, корасслоения и расслоения соответственно равны

C эквивалентности -локальные
исходные корасслоения M

и (необходимо, поскольку корасслоения и слабые эквивалентности определяют расслоения)

отображения, обладающие свойством поднятия справа относительно корасслоений в M, которые также являются C -локальными эквивалентностями.

В этом определении C -локальная эквивалентность — это отображение $f\colon X\to Y$ что, грубо говоря, не имеет значения при отображении на C -локальный объект. Точнее, $f^{*}\colon \operatorname {map} (Y,W)\to \operatorname {map} (X,W)$ требуется, чтобы была слабая эквивалентность ( множеств ) для любого C -локального объекта W. симплициальных Объект W называется C -локальным, если он фибрантен (в M ) и

s^{*}\colon \operatorname {map} (B,W)\to \operatorname {map} (A,W)

является слабой эквивалентностью для всех отображений $s\colon A\to B$ в С. Обозначения $\operatorname {map} (-,-)$ для общей модельной категории (не обязательно обогащенной симплициальными множествами) является некоторый симплициальный набор, набор компонентов пути которого согласуется с морфизмами в категории гомотопической M :

\pi _{0}(\operatorname {map} (X,Y))=\operatorname {Hom} _{Ho(M)}(X,Y).

Если M является категорией симплициальной модели (такой, как, скажем, симплициальные множества или топологические пространства), то «карта» выше может быть взята как производное пространство симплициального отображения M .

В этом описании не делается никаких заявлений о существовании этой модельной структуры, о чем см. ниже.

Двойственным образом существует понятие правой Боусфилдовой локализации , определение которого получается заменой корасслоений на расслоения (и изменением направления всех стрелок).

Существование [ править ]

Известно, что левая структура модели локализации Боусфилда, описанная выше, существует в различных ситуациях при условии, что C представляет собой множество:

M является левособственным (т. е. вытеснение слабой эквивалентности вдоль корасслоения снова является слабой эквивалентностью) и комбинаторным.
M остается собственным и клеточным.

Комбинаторность и клеточность модельной категории гарантируют, в частности, строгий контроль над корасслоениями M .

Аналогично, правая локализация Боусфилда существует, если M является собственным правосторонним, клеточным или комбинаторным, а C — множество.

Универсальная собственность [ править ]

Локализация $C[W^{-1}]$ (обычной) категории C относительно класса W морфизмов удовлетворяет следующему универсальному свойству:

Существует функтор $C\to C[W^{-1}]$ которое переводит все морфизмы из W в изоморфизмы.
Любой функтор $C\to D$ который отправляет W к изоморфизмам в D факторах однозначно над ранее упомянутым функтором.

Локализация Боусфилда является подходящим аналогичным понятием для модельных категорий, если принять во внимание, что изоморфизмы в обычной теории категорий заменяются слабыми эквивалентностями. То есть (левая) локализация Боусфилда $L_{C}M$ таков, что

Существует Квиллена левый функтор $M\to L_{C}M$ чей левый производный функтор переводит все морфизмы в C в слабую эквивалентность.
Любой левый функтор Квиллена $M\to N$ чей левый производный функтор переводит C в факторы слабой эквивалентности однозначно через $M\to L_{C}M$ .

Примеры [ править ]

Локализация и пополнение спектра [ править ]

Локализация и пополнение спектра по простому числу p являются примерами локализации Боусфилда, приводящей к локальному спектру . Например, локализуя спектр сферы S в точке p , можно получить локальную сферу $S_{(p)}$ .

структура модели спектрах на Стабильная

Стабильная гомотопическая категория — это гомотопическая категория (в смысле модельных категорий) спектров, наделенная устойчивой модельной структурой. Устойчивая структура модели получается как левая боусфилдова локализация уровневой (или проективной) структуры модели на спектрах, слабыми эквивалентностями (расслоениями) которых являются те отображения, которые являются слабыми эквивалентностями (расслоениями соответственно) на всех уровнях. ^[3]

Структура модели Мориты по категориям dg [ править ]

Структура модели Мориты на категории малых dg-категорий представляет собой локализацию Боусфилда стандартной структуры модели (той, для которой слабые эквивалентности являются квазиэквивалентностями).

См. также [ править ]

Локализация топологического пространства

Ссылки [ править ]

^ Олдридж Баусфилд, Локализация спектров по гомологии , Топология, том 18 (1979)
^ Олдридж Боусфилд, Локализация пространств относительно гомологий , Топология, том. 14 (1975)
^ Хови, Марк (2001). «Спектры и симметричные спектры в общих модельных категориях» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 165 (1): 63–127. arXiv : math/0004051 . дои : 10.1016/s0022-4049(00)00172-9 . МР 1860878 .

Хиршхорн, Категории моделей и их локализация , AMS 2002.
Отсутствие отображений между p-локальными и q-локальными спектрами.

Внешние ссылки [ править ]

Локализация Бусфилда в nlab .
Дж. Лурье, Лекция 20 по теории хроматической гомотопии (252x).

[1] Олдридж Баусфилд, Локализация спектров по гомологии , Топология, том 18 (1979)

[2] Олдридж Боусфилд, Локализация пространств относительно гомологий , Топология, том. 14 (1975)

[3] Хови, Марк (2001). «Спектры и симметричные спектры в общих модельных категориях» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 165 (1): 63–127. arXiv : math/0004051 . дои : 10.1016/s0022-4049(00)00172-9 . МР 1860878 .

[1]

[2]

[3]