Обобщенное пространство
В математике обобщенное пространство — это обобщение топологического пространства . Побуждения к такому обобщению возникают, по крайней мере, в двух формах:
- Желание применить такие понятия, как когомологии, к объектам, которые традиционно не рассматриваются как пространства. Например, топос . по этой причине изначально был введен
- Практическая необходимость исправить недостатки, заключающиеся в том, что некоторые естественные категории пространств (например, в функциональном анализе ) не склонны быть абелевыми , - стандартное требование для выполнения гомологической алгебры.
Изречение Александра Гротендика гласит, что топос — это обобщенное пространство; именно он и его последователи пишут в разоблачении 4 SGA I: [ 1 ]
Поэтому мы можем сказать, что понятие топоса, естественная производная фашистской точки зрения в топологии, в свою очередь представляет собой существенное расширение понятия топологического пространства, большого количества ситуаций, которые раньше не рассматривались как принадлежащие топологической интуиции.
Однако Уильям Ловер в своей статье 1975 года утверждает, что [ 2 ] что это изречение следует повернуть вспять; а именно, «топос — это« алгебра непрерывных (многозначных) функций» в обобщенном пространстве, а не само обобщенное пространство».
Обобщенное пространство не следует путать с геометрическим объектом, который может заменять роль пространств. Например, стопку обычно рассматривают не как пространство, а как геометрический объект с более богатой структурой.
Примеры
[ редактировать ]- Локаль — это своего рода пространство, но, возможно, с недостаточным количеством точек. [ 3 ] Теорию топоса иногда называют теорией обобщенных локалей. [ 4 ]
- Жана Жиро , Гросс-топос топологический Питера Джонстона топос , [ 5 ] или более поздние воплощения, такие как конденсированные множества или пикнотические множества . Они пытаются встроить категорию (определенных) топологических пространств в более широкую категорию обобщенных пространств способом, философски, если не технически, похожим на способ обобщения функции до обобщенной функции . (Обратите внимание, что эти конструкции более точны, чем различные дополнения категории топологических пространств.)
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гротендик и Вердье, 1972 г.
- ^ Ловере, 1975 г.
- ^ «Локали как геометрические объекты» . MathOverflow . Проверено 22 июля 2024 г.
- ^ Джонстон 1985
- ^ «О топологическом топосе в кафе n-категории» . golem.ph.utexas.edu .
- Ловер, Ф. Уильям (1975). «Непрерывно переменные множества; алгебраическая геометрия = геометрическая логика». Коллоквиум по логике '73, Материалы коллоквиума по логике . Исследования по логике и основам математики. Том. 80. стр. 135–156. дои : 10.1016/S0049-237X(08)71947-5 . ISBN 978-0-444-10642-1 .
- Ловер, Категории пространств не могут быть обобщенными пространствами, примером которых являются ориентированные графы.
- Джонстон, Питер Т. (1985). «Насколько общим является обобщенное пространство?». Аспекты топологии . стр. 77–112. дои : 10.1017/CBO9781107359925.004 . ISBN 978-0-521-27815-7 .
- Гротендик, А.; Вердье, JL (1972), «Топос», Теория топоса и этальных когомологий схем , Конспект лекций по математике, том. 269, Спрингер, номер адреса : 10.1007/BFb0081555.
 | Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |