Изображение (теория категорий)

В теории категорий математики , образ морфизма является разделе обобщением образа функции , .

Общее определение

Учитывая категорию $C$ и морфизм $f\colon X\to Y$ в $C$, изображение из $f$ является мономорфизмом $m\colon I\to Y$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству :

1. Существует морфизм $e\colon X\to I$ такой, что $f=m\,e$.
2. Для любого объекта $I'$ с морфизмом $e'\colon X\to I'$ и мономорфизм $m'\colon I'\to Y$ такой, что $f=m'\,e'$, существует единственный морфизм $v\colon I\to I'$ такой, что $m=m'\,v$.

Примечания:

1. такая факторизация не обязательно существует.
2. $e$ уникален по определению $m$ Моника .
3. $m'e'=f=me=m've$, поэтому $e'=ve$ к $m'$ Моника.
4. $v$ моник.
5. $m=m'\,v$ уже подразумевает, что $v$ является уникальным.

Образ $f$ часто обозначается ${\text{Im}}f$ или ${\text{Im}}(f)$.

Предложение: Если $C$ есть все эквалайзеры, то $e$ в факторизации $f=m\,e$ (1) является эпиморфизмом .

Доказательство

Позволять $\alpha ,\,\beta$ быть таким, что $\alpha \,e=\beta \,e$, нужно это показать $\alpha =\beta$. Так как эквалайзер $(\alpha ,\beta )$ существует, $e$ факторизуется как $e=q\,e'$ с $q$ моник. Но тогда $f=(m\,q)\,e'$ представляет собой факторизацию $f$ с $(m\,q)$ мономорфизм. Следовательно, по универсальному свойству изображения существует единственная стрелка $v:I\to Eq_{\alpha ,\beta }$ такой, что $m=m\,q\,v$ и поскольку $m$ моник ${\text{id}}_{I}=q\,v$. Кроме того, у человека есть $m\,q=(mqv)\,q$ и по свойству мономорфизма $mq$ получается ${\text{id}}_{Eq_{\alpha ,\beta }}=v\,q$.

Это означает, что $I\equiv Eq_{\alpha ,\beta }$ и таким образом, что ${\text{id}}_{I}=q\,v$ уравнивает $(\alpha ,\beta )$, откуда $\alpha =\beta$.

Второе определение

В категории $C$ со всеми конечными и копределами изображение определяется пределами как эквалайзер $(Im,m)$ так называемой пары коядер $(Y\sqcup _{X}Y,i_{1},i_{2})$, который является кокартезианом морфизма самого себя в своей области определения, что приведет к паре морфизмов $i_{1},i_{2}:Y\to Y\sqcup _{X}Y$, на котором взят уравнитель , т.е. первая из следующих диаграмм кокартова , а вторая уравнивающая .

Примечания:

1. Конечная биполнота категории обеспечивает существование пушаутов и эквалайзеров.
2. $(Im,m)$ можно назвать обычным изображением как $m$ — регулярный мономорфизм , т. е. эквалайзер пары морфизмов. (Напомним также, что эквалайзер автоматически является мономорфизмом).
3. В абелевой категории свойство пары коядер можно записать $i_{1}\,f=i_{2}\,f\ \Leftrightarrow \ (i_{1}-i_{2})\,f=0=0\,f$ и условие эквалайзера $i_{1}\,m=i_{2}\,m\ \Leftrightarrow \ (i_{1}-i_{2})\,m=0\,m$. Более того, все мономорфизмы регулярны.

Теорема — Если $f$ всегда факторизуется посредством регулярных мономорфизмов, то два определения совпадают.

Доказательство

Из первого определения следует второе: предположим, что (1) выполнено при $m$ регулярный мономорфизм.

• Уравнивание: нужно показать, что $i_{1}\,m=i_{2}\,m$ . Поскольку пара коядер $f,\ i_{1}\,f=i_{2}\,f$ и по предыдущему предложению, поскольку $C$ есть все эквалайзеры, стрелка $e$ в факторизации $f=m\,e$ является эпиморфизмом , следовательно, $i_{1}\,f=i_{2}\,f\ \Rightarrow \ i_{1}\,m=i_{2}\,m$.
• Универсальность: в категории со всеми копределами (или хотя бы со всеми выталкиваниями) $m$ сам допускает пару коядер $(Y\sqcup _{I}Y,c_{1},c_{2})$

Более того, как регулярный мономорфизм $(I,m)$ является эквалайзером пары морфизмов $b_{1},b_{2}:Y\longrightarrow B$ но мы утверждаем здесь, что это также эквалайзер $c_{1},c_{2}:Y\longrightarrow Y\sqcup _{I}Y$.

Действительно, по построению $b_{1}\,m=b_{2}\,m$ таким образом, диаграмма «пары коядер» для $m$ дает уникальный морфизм $u':Y\sqcup _{I}Y\longrightarrow B$ такой, что $b_{1}=u'\,c_{1},\ b_{2}=u'\,c_{2}$. Теперь карта $m':I'\longrightarrow Y$ который уравнивает $(c_{1},c_{2})$ также удовлетворяет $b_{1}\,m'=u'\,c_{1}\,m'=u'\,c_{2}\,m'=b_{2}\,m'$, следовательно, по диаграмме эквалайзера для $(b_{1},b_{2})$, существует единственное отображение $h':I'\to I$ такой, что $m'=m\,h'$.

Наконец, используйте диаграмму пар коядер (из $f$) с $j_{1}:=c_{1},\ j_{2}:=c_{2},\ Z:=Y\sqcup _{I}Y$ : существует уникальный $u:Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow Y\sqcup _{I}Y$ такой, что $c_{1}=u\,i_{1},\ c_{2}=u\,i_{2}$. Поэтому любая карта $g$ который уравнивает $(i_{1},i_{2})$ также уравнивает $(c_{1},c_{2})$ и, таким образом, однозначно факторизуется как $g=m\,h'$. Это именно означает, что $(I,m)$ это эквалайзер $(i_{1},i_{2})$.

Второе определение подразумевает первое:

• Факторизация: взятие $m':=f$ на схеме эквалайзера ( $m'$ соответствует $g$), получаем факторизацию $f=m\,h$.
• Универсальность: пусть $f=m'\,e'$ быть факторизацией с $m'$ регулярный мономорфизм, т.е. эквалайзер некоторой пары $(d_{1},d_{2})$.

Затем $d_{1}\,m'=d_{2}\,m'\ \Rightarrow \ d_{1}\,f=d_{1}\,m'\,e=d_{2}\,m'\,e=d_{2}\,f$ так что по диаграмме «пара коядер» (из $f$), с $j_{1}:=d_{1},\ j_{2}:=d_{2},\ Z:=D$, существует уникальный $u'':Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow D$ такой, что $d_{1}=u''\,i_{1},\ d_{2}=u''\,i_{2}$.

Теперь из $i_{1}\,m=i_{2}\,m$ ( m из эквалайзера диаграммы ( i ₁ , i ₂ )), получаем $d_{1}\,m=u''\,i_{1}\,m=u''\,i_{2}\,m=d_{2}\,m$, следовательно, в силу универсальности в диаграмме (эквалайзер ( d ₁ , d ₂ ) с заменой f на m ) существует единственный $v:Im\longrightarrow I'$ такой, что $m=m'\,v$.

Примеры

В категории множеств образ морфизма $f\colon X\to Y$ это включение из обычного изображения $\{f(x)~|~x\in X\}$ к $Y$. Во многих конкретных категориях, таких как группы , абелевы группы и (левые или правые) модули , образ морфизма является образом соответствующего морфизма в категории множеств.

В любой нормальной категории с нулевым объектом и ядрами и коядрами для каждого морфизма образ морфизма $f$ можно выразить следующим образом:

im f = ker coker f

В абелевой категории (которая, в частности, является бинормальной), если f — мономорфизм, то f = ker coker f , и поэтому f = im f .

См. также

• Подобъект
• изображение
• Изображение (математика)