Полная категория

В математике — полная категория это категория , в которой существуют все малые пределы . То есть категория C является полной, если каждая F : J → C ( где J мало диаграмма имеет предел в C. ) Двойственно — кополная категория это категория, в которой существуют все малые копределы . Биполная категория — это категория, которая одновременно является полной и кополной.

Существование всех пределов (даже если J — собственный класс ) слишком строго, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкой категорией : для любых двух объектов может существовать не более одного морфизма одного объекта в другой.

Более слабая форма полноты — это форма конечной полноты. Категория является конечно полной, если существуют все конечные пределы (т.е. пределы диаграмм, индексированных конечной категорией J ). Двойственным образом категория является конечно кополной, если существуют все конечные копределы.

Теоремы

следует Из теоремы существования пределов , что категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет эквалайзеры (всех пар морфизмов) и все (малые) произведения . Поскольку эквалайзеры могут быть построены из обратных моделей и бинарных произведений (рассмотрим обратную связь ( f , g ) по диагонали Δ), категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет обратные модели и произведения.

Двойственно, категория является кополной тогда и только тогда, когда она имеет соэквалайзеры и все (маленькие) копродукции или, что то же самое, выталкивания и копродукции.

Конечная полнота может быть охарактеризована несколькими способами. Для категории C все следующие условия эквивалентны:

• C конечно полный,
• C имеет эквалайзеры и все конечные произведения,
• В C есть эквалайзеры, бинарные произведения и терминальный объект .
• C имеет откаты и конечный объект.

Двойные утверждения также эквивалентны.

Малая категория C полна тогда и только тогда, когда она кополна. Небольшая полная категория обязательно тонкая.

Посетальная категория бессмысленно имеет все уравниватели и совыравниватели, следовательно, она (конечно) полна тогда и только тогда, когда она имеет все (конечные) произведения, и двойственно для кополноты. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически является кополной и двойственной по теореме о полных решетках.

Примеры и непримеры

• Следующие категории являются биполными:
  • Set , категория наборов
  • Top , категория топологических пространств.
  • Grp , категория групп
  • Ab , категория абелевых групп
  • Кольцо , категория колец
  • K -Vect , категория векторных пространств над полем K
  • R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R.
  • CmptH , категория всех компактов Хаусдорфа.
  • Кот , категория всех маленьких категорий
  • Whl , категория колес
  • sSet , категория симплициальных множеств
• Следующие категории конечно полны и конечно кополны, но не полны и не кополны:
  • Категория конечных множеств
  • Категория конечных абелевых групп
  • Категория конечномерных векторных пространств
• Любая ( пред ) абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Категория полных решеток полна, но не кополна.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не имеет ни бинарных копродукций, ни бесконечных произведений.
• Категория полей Field не является ни конечно полной , ни конечно кополной.
• ЧУ -множество , рассматриваемое как малая категория, является полным (и кополным) тогда и только тогда, когда оно является полной решеткой .
• всех Частично упорядоченный класс порядковых чисел является сополным, но не полным (поскольку у него нет терминального объекта).
• Группа, рассматриваемая как категория с одним объектом, является полной тогда и только тогда, когда она тривиальна . В нетривиальной группе есть откат и выталкивание, но нет произведений, копроизведений, эквалайзеров, соэквалайзеров, конечных или начальных объектов.

Дальнейшее чтение

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Шлитцер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-60922-6 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .