Теория Галуа Гротендика.

В математике представляет теория Галуа Гротендика собой абстрактный подход к теории полей Галуа , разработанный примерно в 1960 году, чтобы обеспечить способ изучения фундаментальной группы алгебраической топологии в контексте алгебраической геометрии . В классической теории поля он обеспечивает альтернативную точку зрения Эмиля Артина , основанную на линейной алгебре , которая стала стандартной примерно с 1930-х годов.

Подход Александра Гротендика связан с теоретико-категорными свойствами, которые характеризуют категории конечных G -множеств для фиксированной проконечной группы G . Например, G может быть группой, обозначенной ${\hat {\mathbb {Z} }}$ (см. проконечное целое число ), которое является обратным пределом циклических аддитивных групп Z / n Z — или, что то же самое, пополнением бесконечной циклической группы Z для топологии подгрупп конечного индекса . Конечным G -множеством тогда является конечное множество X , на котором G действует через факторконечную циклическую группу, так что оно задается путем задания некоторой перестановки X .

В приведенном выше примере связь с классической теорией Галуа можно увидеть, рассмотрев ${\hat {\mathbb {Z} }}$ как проконечная группа Галуа Gal( / F ) алгебраического замыкания F любого конечного поля F над F. F То есть автоморфизмы F , фиксирующие F, описываются обратным пределом, поскольку мы берем все большие и большие конечные поля расщепления над F . Связь с геометрией можно увидеть, если мы посмотрим на накрытия единичного круга в комплексной плоскости с удаленным началом координат: конечное накрытие, реализуемое с помощью z ^н карта диска, представленная посредством комплексной числовой переменной z , соответствует подгруппе n . Z фундаментальной группы проколотого диска.

Теория Гротендика, опубликованная в SGA1 , показывает, как восстановить категорию G -множеств по слоеному функтору Φ, который в геометрической постановке принимает слой покрытия над фиксированной базовой точкой (как множество). В действительности существует доказанный изоморфизм типа

G ≅ Aut(Φ),

последняя представляет собой группу автоморфизмов (самоестественных эквивалентностей ) группы Φ. Дана абстрактная классификация категорий с функтором категории множеств, с помощью которой можно распознавать категории G -множеств для G проконечных.

Чтобы увидеть, как это применимо к случаю полей, нужно изучить тензорное произведение полей . В теории топоса это часть изучения атомарных топосов .

См. также

• Таннакский формализм
• Оптоволоконный оператор
• Анабелева геометрия

Ссылки

• Гротендик, А.; и др. (1971). SGA1 Плоские покрытия и фундаментальная группа, 1960–1961 гг . Конспект лекций по математике. Полет. 224. СпрингерСфиве Верлаг. arXiv : math/0206203 . ISBN  978-3-540-36910-3 .
• Джоял, Андре; Тирни, Майлз (1984). Расширение теории Галуа Гротендика . Мемуары Американского математического общества. ISBN  0-8218-2312-4 .

• Борсо, Ф.; Джанелидзе, Г. (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80309-8 . (Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми ее обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Самуэли, Т. (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-48114-4 .
• Дубук, Э.Дж.; де ла Вега, CS (2000). «О теории Галуа Гротендика». arXiv : math/0009145 .

• Карамелло, Оливия (2016). «Топологическая теория Галуа» . Достижения в математике . 291 : 646–695. arXiv : 1301.0300 . дои : 10.1016/j.aim.2015.11.050 .