Мультикатегория

В математике (особенно в теории категорий ) мультикатегория — это обобщение понятия категории , допускающее морфизмы кратной арности . Если морфизмы в категории рассматривать как аналоги функций , то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям нескольких переменных. Мультикатегории также иногда называют операдами или цветными операдами.

Определение

(Несимметричная) мультикатегория состоит из

• совокупность (часто собственный класс ) объектов ;
• для каждой конечной последовательности $(X_{i})_{i\in [n]}$ объектов ( $[n]=\{0,1,2,...,n\}$) и каждый объект Y , набор морфизмов из $(X_{i})_{i\in n}$ к Y ; и
• для каждого объекта X — специальный тождественный морфизм (с n = 1) X в X. из

Кроме того, существуют операции композиции: задана последовательность последовательностей $((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}$ объектов, последовательность $(Y_{j})_{j\in m}$ объектов и объект Z : если

• для каждого $j\in m$, f _j — морфизм из $(X_{ij})_{i\in n_{j}}$ к Y _j ; и
• g является морфизмом из $(Y_{j})_{j\in m}$ тогда З :

тогда существует составной морфизм $g(f_{j})_{j\in m}$ от $(X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}$ до З. ​Это должно удовлетворять определенным аксиомам:

• Если m = 1, Z = Y ₀ и g тождественный морфизм для Y ₀ , то g ( f ₀ ) = f ₀ ;
• если для каждого $j\in m$, n _j = 1, $X_{0j}=Y_{j}$, а f _j — тождественный морфизм для Y _j , то $g(f_{j})_{j\in m}=g$; и
• : условие ассоциативности если для каждого $j\in m$ и $i\in n_{j}$, $e_{ij}$ является морфизмом из $(W_{hij})_{h\in o_{ij}}$ к $X_{ij}$, затем $g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}$ являются тождественными морфизмами из $(W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}$ это З. ​

Категории

Комкатегория полностью комультикатегория) — это упорядоченное множество O объектов, множество A мультистрелок ( с двумя функциями

$\mathrm {head} :A\rightarrow O,$

$\mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},$

где О ^% — множество всех конечных упорядоченных последовательностей элементов O . Двойное изображение многострелки f можно резюмировать

$f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).$

Комкатегория C также имеет мультипродукт с обычным характером операции композиции. C называется ассоциативным, если выполняется аксиома многопроизведения относительно этого оператора .

Любая мультикатегория, симметричная или несимметричная, вместе с полным упорядочением набора объектов может быть преобразована в эквивалентную комкатегорию.

Мультипорядок — это комкатегория, удовлетворяющая следующим условиям.

• Существует не более одной мультистрелы с заданной головкой и основанием.
• Каждый объект x имеет единичную мультистрелку.
• Многострелка является единицей, если ее основание имеет один вход.

Мультипорядки являются обобщением частичных порядков (частичных порядков) и были впервые представлены (вскользь) Томом Ленстером.

Примеры

Существует мультикатегория, объектами которой являются (маленькие) множества , где морфизм множеств X ₁ , X ₂ , ... и X _n в множество Y является n -арной функцией ,это функция декартова произведения X ₁ × X ₂ × ... × X _n на Y .

Существует мультикатегория, объектами которой являются векторные пространства (скажем, над рациональными числами ), где морфизм векторных пространств X ₁ , X ₂ , ... и X _n в векторное пространство Y является полилинейным оператором , то есть линейное преобразование тензорного произведения X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n в Y .

В более общем смысле, для любой моноидальной категории C существует мультикатегория, объекты которой являются объектами C , где морфизм C -объектов X ₁ , X ₂ , ... и X _n в C -объект Y является C -морфизм моноидального произведения X ₁ , X ₂ , ... и X _n в Y .

Операда — это мультикатегория с одним уникальным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая мультикатегория не происходит из моноидальной категории.

Примеры мультипорядков включают точечные мультимножества (последовательность A262671 в OEIS ), целочисленные разделы (последовательность A063834 в OEIS ) и комбинаторные разделения (последовательность A269134 в OEIS ). Треугольники (или композиции) любого мультипорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории стягиваний и комкатегории разложений . Категория сжатия для мультипорядка мультиминутных разделов (последовательность A255397 в OEIS ) является простейшей известной категорией мультимножеств.

Приложения

Мультикатегории часто ошибочно считают принадлежащими к теории высших категорий , поскольку их первоначальным применением было наблюдение о том, что операторы и тождества, удовлетворяющие высшим категориям, являются объектами и мультистрелками мультикатегории. Изучение n -категорий, в свою очередь, было мотивировано приложениями в алгебраической топологии и попытками описать гомотопическую теорию более высокой размерности многообразий . Однако в основном она выросла из этой мотивации и теперь также считается частью чистой математики. [1]

Соответствие между стягиванием и разложением треугольников в мультипорядке позволяет построить ассоциативную алгебру, называемую ее алгеброй инцидентности . Любой элемент, который не равен нулю на всех единичных стрелках, имеет композиционный обратный, а функция Мёбиуса мультипорядка определяется как композиционный обратный дзета-функции (константа, равная единице) в ее алгебре инцидентности.

История

Мультикатегории были впервые представлены под этим названием Джимом Ламбеком в книге «Дедуктивные системы и категории II» (1969). Он упоминает (стр. 108), что ему «сказали, что мультикатегории также изучались [Жаном] Бенабу и [Пьером] Картье», и действительно, Ленстер полагает, что «эта идея могла прийти в голову любому, кто знал, что такое категория и многолинейная карта была».

Ссылки

• Гарнер, Ричард (2008). «Поликатегории через псевдодистрибутивные законы» . Достижения в математике . 218 (3): 781–827. arXiv : math/0606735 . дои : 10.1016/j.aim.2008.02.001 . S2CID   17057235 .