Предпучок (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , предпучок категории . $C$ является функтором $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set}$. Если $C$ является частично упорядоченным множеством открытых множеств в топологическом пространстве , интерпретируемом как категория, то восстанавливается обычное понятие предпучка в топологическом пространстве.

Морфизм предпучков определяется как естественное преобразование функторов. Это делает сбор всех предшкивов на $C$в категорию и является примером категории функтора . Часто пишут как ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$. Функтор в ${\widehat {C}}$ иногда называют профунктором .

Предпучок, естественно изоморфный контравариантному hom-функтору Hom(–, A ) для некоторого объекта A из C , называется представимым предпучком .

Некоторые авторы ссылаются на функтор $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V}$ как $\mathbf {V}$-значный предпучок .

Примеры

• Симплициальное множество — это предпучок со значением Set в симплексной категории. $C=\Delta$.

Свойства

• Когда $C$ — небольшая категория , категория функтора ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$ является декартово замкнутым .
• Помножество подобъектов ​ $P$ образуют алгебру Гейтинга всякий раз, когда $P$ является объектом ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$ для маленьких $C$.
• Для любого морфизма $f:X\to Y$ из ${\widehat {C}}$, функтор обратного движения подобъектов $f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)$ имеет правый сопряженный , обозначаемый $\forall _{f}$, и левый сопряженный, $\exists _{f}$. Это универсальные и экзистенциальные кванторы.
• Локально небольшая категория $C$ вписывается полностью и достоверно в категорию ${\widehat {C}}$ предпучков с множеством значений через вложение Йонеды , которое для каждого объекта $A$ из $C$ связывает функтор hom $C(-,A)$.
• Категория ${\widehat {C}}$ допускает малые пределы и малые копределы . См. предел и копредел предпучков для дальнейшего обсуждения.
• Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок является копределом представимых предпучков; фактически, ${\widehat {C}}$ является копредельным завершением $C$ (см. свойство #Universal ниже.)

Универсальная собственность

Конструкция $C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$ называется копредельным пополнением C из -за следующего универсального свойства :

Предложение — Пусть C , D — категории, и предположим, что D допускает малые копределы. Тогда каждый функтор $\eta :C\to D$ факторизуется как

$C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D$

где y — вложение Йонеды и ${\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D$ - это единственный с точностью до изоморфизма функтор, сохраняющий копредел, называемый Йонеды расширением $\eta$.

Доказательство : Учитывая предпучок F , по теореме о плотности мы можем написать $F=\varinjlim yU_{i}$ где $U_{i}$являются объектами C. в Тогда пусть ${\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i},$который существует по предположению. С $\varinjlim -$ является функтором, это определяет функтор ${\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D$. Кратко, ${\widetilde {\eta }}$ является левым кановским расширением $\eta$вдоль y ; отсюда и название «расширение Йонеда». Чтобы увидеть ${\widetilde {\eta }}$ коммутирует с малыми копределами, мы покажем ${\widetilde {\eta }}$является левосопряженным (к некоторому функтору). Определять ${\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}$ быть функтором, заданным следующим образом: для каждого объекта M в D и каждого объекта U в C ,

${\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).$

Тогда для каждого объекта M в D , поскольку ${\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))$ по лемме Йонеды имеем:

${\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M)),\end{aligned}}$

то есть ${\widetilde {\eta }}$ является левосопряженным к ${\mathcal {H}}om(\eta ,-)$. $\square$

Это предложение приводит к нескольким следствиям. Например, из предложения следует, что конструкция $C\mapsto {\widehat {C}}$ является функториальным: т. е. каждый функтор $C\to D$ определяет функтор ${\widehat {C}}\to {\widehat {D}}$.

Варианты

Предпучок пространств на ∞-категории C — это контравариантный функтор из C в ∞-категорию пространств (например, нерв категории CW-комплексов ). Это ∞-категории версия предпучка множеств для , поскольку «набор» заменяется «пробелом». Это понятие используется, среди прочего, в формулировке ∞-категории леммы Йонеды , которая гласит: $C\to PShv(C)$ полностью точен (здесь C может быть просто симплициальным множеством ).

См. также

• Топос
• Категория элементов
• Симплициальный предпучок (это понятие получается заменой «множества» на «симплициальное множество»)
• Предварительный пучок с передачами

Ссылки

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2005). Категории и пучки . Основы математических наук. Том 332. Спрингер. ISBN  978-3-540-27950-1 .
• Лурье, Дж. Теория высшего топоса .
• Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992). Пучки в геометрии и логике . Спрингер. ISBN  0-387-97710-4 .

Дальнейшее чтение

• Предварительный пучок в n Lab
• Бесплатное дозавершение в n Lab
• Дэниел Даггер, Пучки и гомотопическая теория , файл в формате PDF, предоставленный nlab.