Дневная свертка

В математике, особенно в теории категорий , свертка Дея — это операция над функторами , которую можно рассматривать как категоризированную версию свертки функций . Впервые его представил Брайан Дэй в 1970 году. в общем контексте обогащенных категорий функторов . Дневная свертка действует как тензорное произведение для моноидальной структуры категорий в категории функторов. $[\mathbf {C} ,V]$ над некоторой моноидальной категорией $V$.

Определение

Позволять $(\mathbf {C} ,\otimes _{c})$ быть моноидальной категорией, обогащенной симметричной моноидальной замкнутой категорией $(V,\otimes )$. Учитывая два функтора $F,G\colon \mathbf {C} \to V$, мы определяем их свертку Дэя как следующий коэнд .

$F\otimes _{d}G=\int ^{x,y\in \mathbf {C} }\mathbf {C} (x\otimes _{c}y,-)\otimes Fx\otimes Gy$

Если $\otimes _{c}$ симметричен, то $\otimes _{d}$ также симметричен. Мы можем показать, что это определяет ассоциативное моноидальное произведение.

${\begin{aligned}&(F\otimes _{d}G)\otimes _{d}H\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}(F\otimes _{d}G)c_{1}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}\left(\int ^{c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\right)\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{2}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{3}}Fc_{3}\otimes (G\otimes _{d}H)c_{1}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&F\otimes _{d}(G\otimes _{d}H)\end{aligned}}$

Внешние ссылки

• Дневная свертка в n Lab