Конец (теория категорий)

Эта статья о типе трансформации. Для категории морфизмов, обозначенных как End , см. Endomorphism .

В теории конец категорий функтора $S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X}$ универсальное динатуральное преобразование объекта e из X в S. —

Точнее, это пара $(e,\omega )$, где e — объект X и $\omega :e{\ddot {\to }}S$ — это сверхъестественное преобразование, такое, что для каждого сверхъестественного преобразования $\beta :x{\ddot {\to }}S$ существует единственный морфизм $h:x\to e$ X ​ с $\beta _{a}=\omega _{a}\circ h$ для каждого объекта a из C .

Злоупотребляя языком, объект е часто называют концом функтора S (забывая $\omega$) и написано

$e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ or just }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.$

Характеристика как предел: если X завершен , а C мал, конец можно описать как эквалайзер на диаграмме.

$\int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),$

где первый уравниваемый морфизм индуцируется $S(c,c)\to S(c,c')$ а второй вызван $S(c',c')\to S(c,c')$.

Коэнд

Определение коэнда функтора $S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X}$ является двойственным определением цели.

Таким образом, коэнд группы S состоит из пары $(d,\zeta )$, где d — объект X и $\zeta :S{\ddot {\to }}d$— это сверхъестественное преобразование, такое, что для каждого сверхъестественного преобразования $\gamma :S{\ddot {\to }}x$ существует единственный морфизм $g:d\to x$ X ​ с $\gamma _{a}=g\circ \zeta _{a}$ для каждого объекта a из C .

Коэнд ​ d функтора S записывается

$d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ or }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.$

Характеризация как копредел: Двойственно, если X кополный, а C мал, то коэнд можно описать как коэквалайзер на диаграмме.

$\int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).$

Примеры

• Естественные трансформации:

  Предположим, у нас есть функторы $F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {X}$ затем

  $\mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(-),G(-)):\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set}$.

  В данном случае категория множеств полная, поэтому нам нужно только сформировать эквалайзер и в данном случае

  $\int _{c}\mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(c),G(c))=\mathrm {Nat} (F,G)$

  естественные преобразования из $F$ к $G$. Интуитивно, естественная трансформация из $F$ к $G$ является морфизмом из $F(c)$ к $G(c)$ для каждого $c$ в категории с условиями совместимости. Глядя на диаграмму эквалайзера, определяющую конец, становится понятной эквивалентность.

• Геометрические реализации :

  Позволять $T$ быть симплициальным множеством . То есть, $T$ является функтором $\Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set}$. Дискретная топология дает функтор $d:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top}$, где $\mathbf {Top}$ — категория топологических пространств. Более того, есть карта $\gamma :\Delta \to \mathbf {Top}$ отправка объекта $[n]$ из $\Delta$ стандарту $n$-симплекс внутри $\mathbb {R} ^{n+1}$. Наконец, существует функтор $\mathbf {Top} \times \mathbf {Top} \to \mathbf {Top}$ которое принимает произведение двух топологических пространств.

  Определять $S$ быть композицией этого функтора произведения с $dT\times \gamma$. Со - конец $S$ это геометрическая реализация $T$.

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (2013). Категории Для работающего математика . Springer Science & Business Media. стр. 222–226.
• Лорегян, Фоско (2015). «Это (со)конец, мой единственный (со) друг». arXiv : 1501.02503 [ math.CT ].

Внешние ссылки

• конец в n лаборатории