Категория буровой установки

В теории категорий ( категория оснащения также известная как бимоноидальная категория или 2-оснащение ) — это категория, оснащенная двумя моноидальными структурами , одна из которых распределяется над другой.

Определение [ править ]

Категория буровой установки определяется категорией $\mathbf {C}$ оснащен:

симметричная моноидальная структура $(\mathbf {C} ,\oplus ,O)$
моноидальная структура $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$
распределяющие естественные изоморфизмы: $\delta _{A,B,C}:A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)$ и $\delta '_{A,B,C}:(A\oplus B)\otimes C\simeq (A\otimes C)\oplus (B\otimes C)$
уничтожающие (или поглощающие ) естественные изоморфизмы: $a_{A}:O\otimes A\simeq O$ и $a'_{A}:A\otimes O\simeq O$

Эти структуры должны удовлетворять ряду условий согласованности. ^[1]^[2]

Примеры [ править ]

Set , категория множеств с непересекающимся объединением как $\oplus$ и декартово произведение как $\otimes$ . Такие категории, в которых мультипликативная моноидальная структура является категориальным продуктом, а аддитивная моноидальная структура является копродукцией, называются дистрибутивными категориями .
Vect , категория векторных пространств над полем, с прямой суммой как $\oplus$ и тензорное произведение как $\otimes$ .

Строгость [ править ]

Требование строгости всех изоморфизмов, участвующих в определении оснащенной категории, не дает полезного определения, поскольку подразумевает равенство $A\oplus B=B\oplus A$ что сигнализирует о вырожденной структуре. Однако можно превратить большинство задействованных изоморфизмов в равенства. ^[1]

Категория оснащения является полустрогой, если две задействованные моноидальные структуры являются строгими, оба ее аннулятора являются равенствами, а один из ее распределителей является равенством. Любая категория оснастки эквивалентна полустрогой. ^[3]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Келли, генеральный менеджер (1974). «Теоремы когерентности для слабых алгебр и дистрибутивных законов». Категория Семинар . Конспект лекций по математике. Том. 420. стр. 281–375. дои : 10.1007/BFb0063106 . ISBN 978-3-540-37270-7 .
^ Лапласа, Мигель Л. (1972). «Когерентность для дистрибутивности» (PDF) . В GM Келли; М. Лаплаза; Г. Льюис; Сондерс Мак Лейн (ред.). Согласованность в категориях . Конспект лекций по математике. Том. 281. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 29–65. дои : 10.1007/BFb0059555 . ISBN 978-3-540-05963-9 . Проверено 15 января 2020 г.
^ Гийу, Бертран (2010). «Строжение категорий, слабо обогащенных симметричными моноидальными категориями». Теория и приложения категорий . 24 (20): 564–579. arXiv : 0909.5270 .

Категория буровой установки в n лаборатории

[laplaza-1] Перейти обратно: ^а ^б Келли, генеральный менеджер (1974). «Теоремы когерентности для слабых алгебр и дистрибутивных законов». Категория Семинар . Конспект лекций по математике. Том. 420. стр. 281–375. дои : 10.1007/BFb0063106 . ISBN 978-3-540-37270-7 .

[kelly-2] Лапласа, Мигель Л. (1972). «Когерентность для дистрибутивности» (PDF) . В GM Келли; М. Лаплаза; Г. Льюис; Сондерс Мак Лейн (ред.). Согласованность в категориях . Конспект лекций по математике. Том. 281. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 29–65. дои : 10.1007/BFb0059555 . ISBN 978-3-540-05963-9 . Проверено 15 января 2020 г.

[guillou-3] Гийу, Бертран (2010). «Строжение категорий, слабо обогащенных симметричными моноидальными категориями». Теория и приложения категорий . 24 (20): 564–579. arXiv : 0909.5270 .

[1]

[2]

[3]