Т-образная структура

В разделе математики , называемом гомологической алгеброй , t -структура является способом аксиоматизировать свойства абелевой подкатегории категории производной . Т - структура на ${\mathcal {D}}$ состоит из двух подкатегорий $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ триангулированной категории или категории стабильной бесконечности , которые абстрагируют идею комплексов, когомологии которых обращаются в нуль в положительной или отрицательной степени. В одной и той же категории может быть много различных t -структур, и взаимодействие между этими структурами имеет значение для алгебры и геометрии. Понятие t -структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера об перверсивных пучках .

Определение

Исправить триангулированную категорию ${\mathcal {D}}$ с функтором перевода $[1]$. Т - структура на ${\mathcal {D}}$ это пара $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ полных подкатегорий, каждая из которых устойчива относительно изоморфизма, удовлетворяющих следующим трем аксиомам.

1. Если X является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и Y является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$, затем $\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.$
2. Если X является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, то X [1] также является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$. Аналогично, если Y является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$, то Y [-1] также является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$.
3. Если А является объектом ${\mathcal {D}}$, то существует отмеченный треугольник $X\to A\to Y[-1]\to X[1]$ такой, что X является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и Y является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$.

Можно показать, что подкатегории ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$ закрыты при продлении в ${\mathcal {D}}$. В частности, они устойчивы относительно конечных прямых сумм.

Предположим, что $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ представляет собой t -структуру на ${\mathcal {D}}$. В этом случае для любого целого числа n мы определяем ${\mathcal {D}}^{\leq n}$ быть полной подкатегорией ${\mathcal {D}}$ чьи объекты имеют вид $X[-n]$, где $X$ является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$. Сходным образом, ${\mathcal {D}}^{\geq n}$ это полная подкатегория объектов $Y[-n]$, где $Y$ является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$. Короче говоря, мы определяем

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}$

Используя эти обозначения, приведенные выше аксиомы можно переписать как:

1. Если X является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и Y является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$, затем $\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.$
2. ${\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}$.
3. Если А является объектом ${\mathcal {D}}$, то существует отмеченный треугольник $X\to A\to Y\to X[1]$ такой, что X является объектом ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и Y является объектом ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$.

Сердцем . или ядром - структуры t является полная подкатегория ${\mathcal {D}}^{\heartsuit }$ состоящий из объектов, содержащихся в обоих ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$, то есть,

${\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.$

Сердцем t -структуры является абелева категория (тогда как триангулированная категория является аддитивной, но почти никогда не абелевой), и она устойчива при расширениях.

Триангулированную категорию с выбором t -структуры иногда называют t -категорией .

Вариации

Понятно, что для определения t -структуры достаточно зафиксировать целые числа m и n и указать ${\mathcal {D}}^{\leq m}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq n}$. Некоторые авторы определяют t -структуру как пару $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})$.

Две подкатегории ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$ определяют друг друга. Объект X находится в ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Hom} (X,Y)=0$ для всех объектов Y в ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$, и наоборот. То есть, $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})$ являются левым и правым ортогональными дополнениями друг друга. Следовательно, достаточно указать только один из ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$. Более того, поскольку эти подкатегории по определению полны, достаточно указать их объекты.

Приведенные выше обозначения адаптированы к изучению когомологий. Когда целью является изучение гомологии, используются немного другие обозначения. Гомологическая ​ t -структура на ${\mathcal {D}}$ это пара $({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0})$ такое, что если мы определим

$({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})=({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),$

затем $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ является (когомологической) t -структурой на ${\mathcal {D}}$. То есть определение такое же, за исключением того, что верхние индексы преобразуются в нижние индексы и роли $\geq$ и $\leq$ поменяны местами. Если мы определим

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq n}&={\mathcal {D}}_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\leq n}&={\mathcal {D}}_{\leq 0}[n],\end{aligned}}$

тогда аксиомы гомологической t -структуры можно явно записать как

1. Если X является объектом ${\mathcal {D}}_{\geq 0}$ и Y является объектом ${\mathcal {D}}_{\leq -1}$, затем $\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.$
2. ${\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}$ и ${\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}$.
3. Если А является объектом ${\mathcal {D}}$, то существует отмеченный треугольник $X\to A\to Y\to X[1]$ такой, что X является объектом ${\mathcal {D}}_{\geq 0}$ и Y является объектом ${\mathcal {D}}_{\leq -1}$.

Примеры

Естественная t структура

Наиболее фундаментальным примером t -структуры является естественная t -структура производной категории. Позволять ${\mathcal {A}}$ — абелева категория, и пусть $D({\mathcal {A}})$ быть его производной категорией. Тогда естественная t -структура определяется парой подкатегорий

${\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}$

Отсюда сразу следует, что

${\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}$

В этом случае третью аксиому t -структуры — существование некоторого выделенного треугольника — можно выразить следующим образом. Предположим, что $A^{\bullet }$ представляет собой коцепный комплекс со значениями в ${\mathcal {A}}$. Определять

${\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}$

Ясно, что $\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }$ и что существует короткая точная последовательность комплексов

$0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.$

Эта точная последовательность дает требуемый отмеченный треугольник.

Этот пример можно обобщить на точные категории (в смысле Квиллена). Существуют также аналогичные t -структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий. Если ${\mathcal {C}}$ является абелевой подкатегорией ${\mathcal {A}}$, затем полная подкатегория $D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ из $D({\mathcal {A}})$ состоящий из тех комплексов, когомологии которых находятся в ${\mathcal {C}}$ имеет аналогичную t -структуру, сердце которой находится ${\mathcal {C}}$.

Извращенные снопы

Категория перверсивных пучков по определению является ядром так называемой перверсивной t-структуры на производной категории категории пучков комплексного аналитического пространства X или (при работе с l-адическими пучками) алгебраического многообразия над конечное поле. Как объяснялось выше, сердце стандартной t-структуры просто содержит обычные пучки, рассматриваемые как комплексы, сконцентрированные в степени 0. Например, категория извращенных пучков на (возможно, сингулярной) алгебраической кривой X (или, аналогично, возможно, сингулярной поверхности ) устроен так, что содержит, в частности, объекты вида

$i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]$

где $i:Z\to X$ это включение точки, $F_{Z}$ представляет собой обычный сноп, $U$ представляет собой гладкую открытую подсхему и $F_{U}$ является локально постоянным пучком на U . Обратите внимание на наличие сдвига по размерности Z и U соответственно. Этот сдвиг приводит к тому, что категория перверсивных пучков хорошо себя ведет в сингулярных пространствах. Простыми объектами этой категории являются пучки когомологий пересечения подмногообразий с коэффициентами неприводимой локальной системы.Эта t-структура была введена Бейлинсоном, Бернштейном и Делинем. Бейлинсон показал, что производная категория сердца $D^{b}(Perv(X))$ фактически эквивалентно исходной производной категории пучков. Это пример того общего факта, что триангулированная категория может быть наделена несколькими различными t-структурами.

Градуированные модули

Нестандартный пример t-структуры в производной категории (градуированных) модулей над градуированным кольцом обладает тем свойством, что его сердцевина состоит из комплексов.

$\dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots$

где $P^{n}$ — модуль, порожденный своей (градуированной) степенью n . Эта t-структура, называемая геометрической t-структурой, играет заметную роль в двойственности Кошуля .

Спектры

Категория спектров наделена t-структурой, порожденной в указанном выше смысле единственным объектом, а именно сферным спектром . Категория $Sp^{\leq 0}$ — категория связных спектров, т. е. тех, отрицательные гомотопические группы которых равны нулю. (В областях, связанных с теорией гомотопий, принято использовать гомологические соглашения, а не когомологические, поэтому в этом случае принято заменять " $\leq$" (надстрочный индекс) через " $\geq$" (индекс). Используя это соглашение, категория соединительных спектров обозначается как $Sp_{\geq 0}$.)

Мотивы

Гипотетическим примером в теории мотивов является так называемая мотивная т-структура . Его (гипотетическое) существование тесно связано с некоторыми стандартными гипотезами об алгебраических циклах и гипотезами об исчезновении, такими как гипотеза Бейлинсона-Суле .

Функторы усечения

В приведенном выше примере естественной t -структуры производной категории абелевой категории выделенный треугольник, гарантированный третьей аксиомой, был построен путем усечения. Как операции над категорией комплексов, отсечения $\tau _{\leq 0}A^{\bullet }$ и $\tau _{\geq 1}A^{\bullet }$ функториальны, и результирующая короткая точная последовательность комплексов естественна в $A^{\bullet }$. Используя это, можно показать, что в производной категории существуют функторы усечения и что они порождают естественный выделенный треугольник.

На самом деле это пример общего явления. Хотя аксиомы t -структуры не предполагают существования функторов усечения, такие функторы всегда можно построить, и они по существу уникальны. Предположим, что ${\mathcal {D}}$ является триангулированной категорией и что $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ представляет собой t -структуру. Точное утверждение состоит в том, что функторы включения

${\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}$

допускать сопряженные . Это функторы

${\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{aligned}}$

такой, что

${\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}$

Более того, для любого объекта $A$ из ${\mathcal {D}}$, существует уникальный

$d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)$

такой, что d , а также единица и единица присоединения вместе определяют отмеченный треугольник

$\tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].$

С точностью до единственного изоморфизма это единственный отмеченный треугольник вида $X\to A\to Y\to X[1]$ с $X$ и $Y$ объекты ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$, соответственно. Из существования этого треугольника следует, что объект $A$ лежит в ${\mathcal {D}}^{\leq n}$ (соответственно ${\mathcal {D}}^{\geq n}$) тогда и только тогда, когда $\tau ^{\geq n+1}(A)=0$ (соответственно $\tau ^{\leq n-1}(A)=0$).

Существование $\tau ^{\leq 0}$ подразумевает существование других функторов усечения путем сдвига и принятия противоположных категорий. Если $A$ является объектом ${\mathcal {D}}$, третья аксиома t -структуры утверждает существование $X$ в ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и морфизм $X\to A$ вписывающиеся в некий выделенный треугольник. Для каждого $A$, зафиксируем один такой треугольник и определим $\tau ^{\leq 0}(A)=X$. Аксиомы t -структуры подразумевают, что для любого объекта $T$ из ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, у нас есть

$\operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),$

причем изоморфизм индуцируется морфизмом $X\to A$. Это экспонаты $X$ как решение некоторой универсальной задачи отображения. Стандартные результаты о сопряженных функторах теперь означают, что $X$ уникальна с точностью до единственного изоморфизма и что существует единственный способ определить $\tau ^{\leq 0}$ на морфизмах, что делает его правосопряженным. Это доказывает существование $\tau ^{\leq 0}$ и, следовательно, существование всех функторов усечения.

Повторное усечение t -структуры ведет себя аналогично повторному усечению комплексов. Если $n\leq m$, то происходят естественные преобразования

${\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}$

которые дают естественные эквиваленты

${\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}$

Когомологические функторы

Функтор n -ных когомологий $H^{n}$ определяется как

$H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].$

Как следует из названия, это когомологический функтор в обычном смысле для триангулированной категории. То есть для любого отмеченного треугольника $X\to Y\to Z\to X[1]$, мы получаем длинную точную последовательность

$\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .$

В приложениях к алгебраической топологии функторы когомологий можно обозначить $\pi _{n}$ вместо $H^{n}$. Функтор когомологий принимает значения в сердцевине ${\mathcal {D}}^{\heartsuit }$. С помощью одного из повторяющихся тождеств усечения, приведенных выше, с точностью до естественной эквивалентности эквивалентно определить

$H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].$

Для естественной t -структуры производной категории $D({\mathcal {A}})$, функтор когомологий $H^{n}$ является с точностью до квазиизоморфизма обычной n- й группой когомологий комплекса. Однако, если рассматривать их как функторы комплексов, это неверно . Рассмотрим, например, $H^{0}$ как это определено в терминах естественной t -структуры. По определению это

${\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet })&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet }))\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{aligned}}$

Этот комплекс отличен от нуля в градусах $-1$ и $0$, поэтому она явно не совпадает с нулевой группой когомологий комплекса $A^{\bullet }$. Однако нетривиальный дифференциал является инъекцией, поэтому единственные нетривиальные когомологии имеют степень $0$, где это $\ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}$, нулевая группа когомологий комплекса $A^{\bullet }$. Отсюда следует, что два возможных определения понятия $H^{0}(A^{\bullet })$ квазиизоморфны.

t если -структура невырождена, пересечение всех ${\mathcal {D}}^{\leq n}$, а также пересечение всех ${\mathcal {D}}^{\geq n}$, состоит только из нуля объектов. Для невырожденной t -структуры набор функторов $\{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }$ является консервативным. Более того, в этом случае ${\mathcal {D}}^{\leq n}$ (соответственно ${\mathcal {D}}^{\geq n}$) может быть отождествлен с полной подкатегорией этих объектов $A$ для чего $H^{i}(A)=0$ для $i>n$ (соответственно $i<n$).

Точные функторы

Для $i=1,2$, позволять ${\mathcal {D}}_{i}$ быть триангулированной категорией с фиксированной t -структурой $({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})$. Предположим, что $F\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}$ является точным функтором (в обычном для триангулированных категорий смысле, т. е. с точностью до естественной эквивалентности он коммутирует со сдвигом и сохраняет выделенные треугольники). Затем $F$ является:

• Левый t - точно, если $F({\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}$,
• Правильно t -точно, если $F({\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}$, и
• t -точное, если оно одновременно t -точное и левое, и правое.

Элементарно увидеть, что если $F$ полностью верен и t -точен, то объект $A$ из ${\mathcal {D}}_{1}$ находится в ${\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0}$ (соответственно ${\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0}$) тогда и только тогда, когда $FA$ находится в ${\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}$ (соответственно ${\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}$). Также элементарно увидеть, что если $G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}$ является еще одним левым (соответственно правым) t -точным функтором, то составной $G\circ F$ также левое (соответственно правое) t -точное.

Мотивацией изучения свойств односторонней t -точности является то, что они приводят к свойствам односторонней точности в сердцах. Позволять $\iota _{i}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{i}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{i}$ быть включение. Тогда существует составной функтор

${}^{p}F=H^{0}\circ F\circ \iota _{1}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }.$

Можно показать, что если $F$ является точным слева (соответственно справа), тогда ${}^{p}F$ также является точным слева (соответственно справа), и это если $G$ также является точным слева (соответственно справа), тогда ${}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ ({}^{p}F)$.

Если $F$ является правым (соответственно левым) t -точным, и если $A$ находится в ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ (соответственно ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$), то существует естественный изоморфизм ${}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)$ (соответственно $H^{0}F(A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ {}^{p}F(H^{0}A)$).

Если $(T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}$ являются точными функторами с $T^{*}$ слева примыкать к $T_{*}$, затем $T^{*}$ верно t -точно тогда и только тогда, когда $T_{*}$ остается t -точным, и в этом случае $({}^{p}T^{*},{}^{p}T_{*})$ представляют собой пару сопряженных функторов ${\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }$.

Конструкции т -конструкций

Позволять $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ быть t -структурой на ${\mathcal {D}}$. Если n целое число, то перевод на nt равен -структуру $({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})$. Двойственная . t -структура представляет собой t -структуру противоположной категории ${\mathcal {D}}^{\text{op}}$ определяется $(({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})$.

Позволять ${\mathcal {D}}'$ быть триангулированной подкатегорией триангулированной категории ${\mathcal {D}}$. Если $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ представляет собой t -структуру на ${\mathcal {D}}$, затем

$(({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0})$

представляет собой t -структуру на ${\mathcal {D}}'$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {D}}'$ устойчив относительно функтора усечения $\tau ^{\leq 0}$. При выполнении этого условия t -структура $(({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})$ называется индуцированной t -структурой . Функторы усечения и когомологий для индуцированной t -структуры представляют собой ограничение на ${\mathcal {D}}'$ из тех, кто на ${\mathcal {D}}$. Следовательно, включение ${\mathcal {D}}'$ в ${\mathcal {D}}$ является t -точным, и $({\mathcal {D}}')^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\heartsuit }\cap {\mathcal {D}}'$.

Чтобы построить категорию перверсивных пучков, важно иметь возможность определить t -структуру в категории пучков в пространстве, работая локально в этом пространстве. Точные условия, необходимые для того, чтобы это стало возможным, можно свести к следующей схеме. Предположим, что существуют три триангулированные категории и два морфизма

${\mathcal {D}}_{F}\ {\stackrel {i_{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}\ {\stackrel {j^{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{U}$

удовлетворяющий следующим свойствам.

• Существуют две последовательности троек сопряженных функторов. $(j_{!},j^{*},j_{*})$ и $(i^{*},i_{*},i^{!})$.
• Функторы $i_{*}$, $j_{!}$, и $j^{*}$ полны и верны, и они удовлетворяют $j^{*}i_{*}=0$.
• Существуют уникальные дифференциалы для каждого K в ${\mathcal {D}}$, точные треугольники

${\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}$

В этом случае для данных t -структур $({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})$ и $({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})$ на ${\mathcal {D}}_{U}$ и ${\mathcal {D}}_{F}$, соответственно на , ${\mathcal {D}}$ определяется

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}$

Эту t -структуру называют склейкой t - на U и F. структур Предполагаемые случаи использования – это случаи, когда ${\mathcal {D}}$, ${\mathcal {D}}_{U}$, и ${\mathcal {D}}_{F}$ ограничены снизу производные категории пучков в пространстве X , открытом подмножестве U и замкнутом F к U. дополнении Функторы $j^{*}$ и $i_{*}$ являются обычными функторами обратного и прямого движения. Это работает, в частности, когда рассматриваемые пучки представляют собой левые модули над пучком колец. ${\mathcal {O}}$ на X и когда пучки являются ℓ-адическими пучками.

Многие t-структуры возникают благодаря следующему факту: в триангулированной категории с произвольными прямыми суммами и множестве $S_{0}$ компактных объектов в ${\mathcal {D}}$, подкатегории

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}$

можно показать, что это t-структура. полученная t Говорят, что -структура порождается $S_{0}$.

Учитывая абелеву подкатегорию ${\mathcal {C}}$ триангулированной категории ${\mathcal {D}}$, можно построить подкатегорию ${\mathcal {D}}$ и t -структура в той подкатегории, сердцем которой является ${\mathcal {C}}$.

О стабильных ∞-категориях

Элементарная теория t -структур переносится на случай ∞-категорий с небольшими изменениями. Позволять ${\mathcal {D}}$ — стабильная ∞-категория. Т - структура на ${\mathcal {D}}$ определяется как t -структура в своей гомотопической категории $\mathrm {h} {\mathcal {D}}$ (это триангулированная категория). t -структура на ∞-категории может быть записана либо гомологически, либо когомологически, как и в случае триангулированной категории.

Предположим, что ${\mathcal {D}}$ является ∞-категорией с гомотопической категорией $\mathrm {h} {\mathcal {D}}$ и это $(\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})$ представляет собой t -структуру на $\mathrm {h} {\mathcal {D}}$. Затем для каждого целого числа n мы определяем ${\mathcal {D}}_{\geq n}$ и ${\mathcal {D}}_{\leq n}$ быть полными подкатегориями ${\mathcal {D}}$ охватываемые объектами в $\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}$ и $\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}$, соответственно. Определять

${\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}$

быть функторами включения. Как и в случае триангулированной категории, они допускают соответственно правое и левое сопряженное функторы усечения

${\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}$

Эти функторы удовлетворяют тем же повторяющимся тождествам усечения, что и в случае триангулированной категории.

Сердце - Т структуры на ${\mathcal {D}}$ определяется как ∞-подкатегория ${\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}$. Категория ${\mathcal {D}}^{\heartsuit }$ эквивалентен нерву своей гомотопической категории $\mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }$. Функтор когомологий $\pi _{n}$ определяется как $\tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]$или эквивалентно $\tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]$.

Существование $\tau _{\leq n}$ означает, что $\iota _{\leq n}$ по определению является функтором локализации. Фактически существует биекция между t -структурами на ${\mathcal {D}}$ и некоторые виды функторов локализации, называемые t -локализациями . Это функторы локализации L , существенный образ которых замкнут при расширении, что означает, что если $X\to Y\to Z$ является последовательностью слоев с X и Z в существенном образе L , то Y также находится в существенном L. образе Учитывая такой функтор локализации L , соответствующая t -структура определяется формулой

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}$

Функторы t -локализации также можно охарактеризовать в терминах морфизмов f, для которых Lf является эквивалентностью. Множество морфизмов S в ∞-категории ${\mathcal {D}}$ квазинасыщен , если он содержит все эквивалентности, если любой 2-симплекс в ${\mathcal {D}}$ с двумя невырожденными ребрами в S , имеет третье невырожденное ребро в S и устойчиво при выталкиваниях. Если $L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ является функтором локализации, то множество S всех морфизмов f, для которых Lf является эквивалентностью, квазинасыщено. Тогда L — функтор t -локализации тогда и только тогда, когда S — наименьшее квазинасыщенное множество морфизмов, содержащее все морфизмы $\{0\to X\colon LX\simeq 0\}$.

Производная категория абелевой категории имеет несколько подкатегорий, соответствующих различным условиям ограниченности. t . -структура на стабильной ∞-категории может использоваться для построения подобных подкатегорий Конкретно,

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}$

Это стабильные подкатегории ${\mathcal {D}}$. Один говорит, что ${\mathcal {D}}$ ограничено слева (относительно заданной t -структуры), если ${\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}$, ограничено справа, если ${\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}$и ограничен , если ${\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}$.

Также возможно формирование левого или правого пополнения относительно t -структуры. Это аналогично формально присоединенным направленным пределам или направленным копределам. Левое завершение ${\hat {\mathcal {D}}}$ из ${\mathcal {D}}$ — гомотопический предел диаграммы

$\cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .$

Правое пополнение определяется двояко. Левое и правое пополнения сами по себе являются стабильными ∞-категориями, наследующими каноническую t -структуру. Существует каноническая карта из ${\mathcal {D}}$ любому из своих пополнений, и это отображение t -точно. Мы говорим, что ${\mathcal {D}}$ является полным слева или полным справа, если каноническое отображение его левого или правого завершения соответственно является эквивалентностью.

Связанные понятия

Если требование $D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}$, $D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};$ заменяется противоположным включением

$D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}$, $D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},$

и две другие аксиомы остались прежними, полученное понятие называется co-t-структурой или весовой структурой .