Jump to content

Компактный объект (математика)

В математике компактные объекты , также называемые конечно представленными объектами или объектами конечного представления , — это объекты в категории, удовлетворяющие определенному условию конечности.

Определение

[ редактировать ]

Объект X в категории C , который допускает все фильтруемые копределы (также известные как прямые пределы ), называется компактным , если функтор

коммутирует с фильтрованными копределами, т. е. если естественное отображение

является биекцией для любой фильтрованной системы объектов в С. [1] Поскольку элементы в отфильтрованном копределе слева представлены картами , для некоторого i сюръективность приведенного выше отображения сводится к требованию, чтобы отображение факторы по некоторым .

Терминология мотивирована примером, вытекающим из топологии, упомянутой ниже. Некоторые авторы также используют терминологию, которая более тесно связана с алгебраическими категориями: Адамек и Росицки (1994) используют терминологию конечно представленного объекта вместо компактного объекта. Кашивара и Шапира (2006) называют их объектами конечного представления .

Компактность в ∞-категориях

[ редактировать ]

То же определение применимо и в том случае, если C является ∞-категорией , при условии, что указанный выше набор морфизмов заменяется пространством отображений в C (а фильтрованные копределы понимаются в ∞-категорическом смысле, иногда также называемые фильтрованными гомотопическими копределами ).

Компактность в триангулированных категориях

[ редактировать ]

Для триангулированной категории C , которая допускает все копроизведения , Ниман (2001) определяет объект как компактный, если

коммутирует с копроизведениями. Связь этого понятия со сказанным выше такова: предположим, что C возникает как гомотопическая категория стабильной ∞-категории, допускающей все фильтруемые копределы. (Это условие во многих случаях выполняется, но не автоматически.) Тогда объект в C компактен в смысле Нимана тогда и только тогда, когда он компактен в ∞-категорическом смысле. Причина в том, что в устойчивой ∞-категории всегда коммутирует с конечными копределами, поскольку это пределы. Затем используется представление отфильтрованных копределов как соэквалайзера (который является конечным копределом) бесконечного копроизведения.

Компактные объекты в категории множеств — это в точности конечные множества.

Для кольца R компактными объектами в категории R -модулей являются в точности конечно определенные R -модули. В частности, если R — поле, то компактные объекты — это конечномерные векторные пространства.

Аналогичные результаты справедливы для любой категории алгебраических структур, заданных операциями над множеством, подчиняющимся эквационным законам. Такие категории, называемые многообразиями , можно систематически изучать с помощью теории Лоувера . Для любой теории Лоувера T существует категория Mod( T ) моделей T , а компактные объекты в Mod( T ) являются в точности конечно представленными моделями. Например: предположим, что T — это теория групп. Тогда Mod( T ) — это категория групп, а компактные объекты в Mod( T ) — это конечно представимые группы.

Компактные объекты в производной категории - модулей R являются в точности совершенными комплексами .

Компактные топологические пространства являются не компактными объектами в категории топологических пространств . Напротив, это именно конечные множества, наделенные дискретной топологией . [2] Связь компактности в топологии с приведенным выше категоричным понятием компактности следующая: для фиксированного топологического пространства , есть категория чьи объекты являются открытыми подмножествами (и включения как морфизмы). Затем, является компактным топологическим пространством тогда и только тогда, когда компактен как объект в .

Если любая категория, категория предшкивов (т.е. категория функторов из к множествам) имеет все копределы. Исходная категория подключен к по вложению Йонеды . Для любого объекта из , представляет собой компактный объект (из ).

Аналогично, любая категория можно рассматривать как полную подкатегорию категории инд -объектов в . Рассматриваемый как объект этой более широкой категории, любой объект компактен. Фактически, компактные объекты именно являются объектами (точнее, их изображения в ).

Непримеры

[ редактировать ]

Производная категория пучков абелевых групп на некомпактном X

[ редактировать ]

В неограниченной производной категории пучков абелевых групп для некомпактного топологического пространства , это, как правило, не компактно сгенерированная категория. Некоторые доказательства этого можно найти, рассмотрев открытую крышку. (которое никогда нельзя уточнить до конечного подпокрытия, используя некомпактность ) и беру карту

для некоторых . Тогда для этой карты поднять на элемент

придется учитывать некоторые , что не гарантируется. Чтобы доказать это, необходимо показать, что любой компактный объект имеет поддержку в некотором компактном подмножестве. , а затем отображение этого подмножества должно быть пустым. [3]

Производная категория квазикогерентных пучков в стеке Артина

[ редактировать ]

Для алгебраических стеков над положительной характеристикой, неограниченная производная категория квазикогерентных пучков, вообще говоря, не компактно порождается, даже если является квазикомпактным и квазиразделенным . [4] Фактически, для алгебраического стека , нет никаких компактных объектов, кроме нулевого объекта. Это наблюдение можно обобщить до следующей теоремы: если стек есть группа стабилизаторов такой, что

  1. определяется над полем положительной характеристики
  2. имеет подгруппу, изоморфную

тогда единственный компактный объект в это нулевой объект. В частности, категория не является компактно порожденной.

Эта теорема применима, например, к с помощью встраивания отправка точки к единичной матрице плюс в -й столбец в первой строке.

Компактно сгенерированные категории

[ редактировать ]

В большинстве категорий условие компактности является достаточно строгим, поэтому большинство объектов не являются компактными. Категория если компактно генерируется, любой объект может быть выражен как отфильтрованный копредел компактных объектов в . Например, любое векторное пространство V является фильтрованным копределом своих конечномерных (т. е. компактных) подпространств. Следовательно, категория векторных пространств (над фиксированным полем) компактно порождена.

Категории, которые компактно порождены и допускают все копределы, называются доступными категориями .

Отношение к дуализируемым объектам

[ редактировать ]

Для категорий C с корректным тензорным произведением (более формально, C должна быть моноидальной категорией ) существует еще одно условие, налагающее некоторую конечность, а именно условие дуализуемости объекта . Если моноидальная единица в C компактна, то компактен и любой дуализируемый объект. Например, R компактен как R -модуль, поэтому это наблюдение можно применить. Действительно, в категории R -модулей дуализируемыми объектами являются конечно определенные проективные модули , в частности компактные. В контексте ∞-категорий дуализируемые и компактные объекты имеют тенденцию быть более тесно связанными, например, в ∞-категории комплексов R -модулей компактные и дуализируемые объекты совпадают. Этот и более общий пример согласования дуализируемых и компактных объектов обсуждается в работе Бен-Цви, Фрэнсиса и Надлера (2010) .

  1. ^ Лурье (2009 , §5.3.4)
  2. ^ Адамек и Росицки (1994 , Глава 1.A)
  3. ^ Нееман, Амнон. «О производной категории пучков на многообразии» . Документа Математика . 6 : 483–488.
  4. ^ Холл, Джек; Нееман, Амнон; Рид, Дэвид (3 декабря 2015 г.). «Один положительный и два отрицательных результата для производных категорий алгебраических стеков». arXiv : 1405.1888 [ math.AG ].
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 20078eb3ec1792690a6b12bf83ac7690__1709613540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/20/90/20078eb3ec1792690a6b12bf83ac7690.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Compact object (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)