Компактный объект (математика)
В математике компактные объекты , также называемые конечно представленными объектами или объектами конечного представления , — это объекты в категории, удовлетворяющие определенному условию конечности.
Определение
[ редактировать ]Объект X в категории C , который допускает все фильтруемые копределы (также известные как прямые пределы ), называется компактным , если функтор
коммутирует с фильтрованными копределами, т. е. если естественное отображение
является биекцией для любой фильтрованной системы объектов в С. [1] Поскольку элементы в отфильтрованном копределе слева представлены картами , для некоторого i сюръективность приведенного выше отображения сводится к требованию, чтобы отображение факторы по некоторым .
Терминология мотивирована примером, вытекающим из топологии, упомянутой ниже. Некоторые авторы также используют терминологию, которая более тесно связана с алгебраическими категориями: Адамек и Росицки (1994) используют терминологию конечно представленного объекта вместо компактного объекта. Кашивара и Шапира (2006) называют их объектами конечного представления .
Компактность в ∞-категориях
[ редактировать ]То же определение применимо и в том случае, если C является ∞-категорией , при условии, что указанный выше набор морфизмов заменяется пространством отображений в C (а фильтрованные копределы понимаются в ∞-категорическом смысле, иногда также называемые фильтрованными гомотопическими копределами ).
Компактность в триангулированных категориях
[ редактировать ]Для триангулированной категории C , которая допускает все копроизведения , Ниман (2001) определяет объект как компактный, если
коммутирует с копроизведениями. Связь этого понятия со сказанным выше такова: предположим, что C возникает как гомотопическая категория стабильной ∞-категории, допускающей все фильтруемые копределы. (Это условие во многих случаях выполняется, но не автоматически.) Тогда объект в C компактен в смысле Нимана тогда и только тогда, когда он компактен в ∞-категорическом смысле. Причина в том, что в устойчивой ∞-категории всегда коммутирует с конечными копределами, поскольку это пределы. Затем используется представление отфильтрованных копределов как соэквалайзера (который является конечным копределом) бесконечного копроизведения.
Примеры
[ редактировать ]Компактные объекты в категории множеств — это в точности конечные множества.
Для кольца R компактными объектами в категории R -модулей являются в точности конечно определенные R -модули. В частности, если R — поле, то компактные объекты — это конечномерные векторные пространства.
Аналогичные результаты справедливы для любой категории алгебраических структур, заданных операциями над множеством, подчиняющимся эквационным законам. Такие категории, называемые многообразиями , можно систематически изучать с помощью теории Лоувера . Для любой теории Лоувера T существует категория Mod( T ) моделей T , а компактные объекты в Mod( T ) являются в точности конечно представленными моделями. Например: предположим, что T — это теория групп. Тогда Mod( T ) — это категория групп, а компактные объекты в Mod( T ) — это конечно представимые группы.
Компактные объекты в производной категории - модулей R являются в точности совершенными комплексами .
Компактные топологические пространства являются не компактными объектами в категории топологических пространств . Напротив, это именно конечные множества, наделенные дискретной топологией . [2] Связь компактности в топологии с приведенным выше категоричным понятием компактности следующая: для фиксированного топологического пространства , есть категория чьи объекты являются открытыми подмножествами (и включения как морфизмы). Затем, является компактным топологическим пространством тогда и только тогда, когда компактен как объект в .
Если любая категория, категория предшкивов (т.е. категория функторов из к множествам) имеет все копределы. Исходная категория подключен к по вложению Йонеды . Для любого объекта из , представляет собой компактный объект (из ).
Аналогично, любая категория можно рассматривать как полную подкатегорию категории инд -объектов в . Рассматриваемый как объект этой более широкой категории, любой объект компактен. Фактически, компактные объекты именно являются объектами (точнее, их изображения в ).
Непримеры
[ редактировать ]Производная категория пучков абелевых групп на некомпактном X
[ редактировать ]В неограниченной производной категории пучков абелевых групп для некомпактного топологического пространства , это, как правило, не компактно сгенерированная категория. Некоторые доказательства этого можно найти, рассмотрев открытую крышку. (которое никогда нельзя уточнить до конечного подпокрытия, используя некомпактность ) и беру карту
для некоторых . Тогда для этой карты поднять на элемент
придется учитывать некоторые , что не гарантируется. Чтобы доказать это, необходимо показать, что любой компактный объект имеет поддержку в некотором компактном подмножестве. , а затем отображение этого подмножества должно быть пустым. [3]
Производная категория квазикогерентных пучков в стеке Артина
[ редактировать ]Для алгебраических стеков над положительной характеристикой, неограниченная производная категория квазикогерентных пучков, вообще говоря, не компактно порождается, даже если является квазикомпактным и квазиразделенным . [4] Фактически, для алгебраического стека , нет никаких компактных объектов, кроме нулевого объекта. Это наблюдение можно обобщить до следующей теоремы: если стек есть группа стабилизаторов такой, что
- определяется над полем положительной характеристики
- имеет подгруппу, изоморфную
тогда единственный компактный объект в это нулевой объект. В частности, категория не является компактно порожденной.
Эта теорема применима, например, к с помощью встраивания отправка точки к единичной матрице плюс в -й столбец в первой строке.
Компактно сгенерированные категории
[ редактировать ]В большинстве категорий условие компактности является достаточно строгим, поэтому большинство объектов не являются компактными. Категория если компактно генерируется, любой объект может быть выражен как отфильтрованный копредел компактных объектов в . Например, любое векторное пространство V является фильтрованным копределом своих конечномерных (т. е. компактных) подпространств. Следовательно, категория векторных пространств (над фиксированным полем) компактно порождена.
Категории, которые компактно порождены и допускают все копределы, называются доступными категориями .
Отношение к дуализируемым объектам
[ редактировать ]Для категорий C с корректным тензорным произведением (более формально, C должна быть моноидальной категорией ) существует еще одно условие, налагающее некоторую конечность, а именно условие дуализуемости объекта . Если моноидальная единица в C компактна, то компактен и любой дуализируемый объект. Например, R компактен как R -модуль, поэтому это наблюдение можно применить. Действительно, в категории R -модулей дуализируемыми объектами являются конечно определенные проективные модули , в частности компактные. В контексте ∞-категорий дуализируемые и компактные объекты имеют тенденцию быть более тесно связанными, например, в ∞-категории комплексов R -модулей компактные и дуализируемые объекты совпадают. Этот и более общий пример согласования дуализируемых и компактных объектов обсуждается в работе Бен-Цви, Фрэнсиса и Надлера (2010) .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лурье (2009 , §5.3.4)
- ^ Адамек и Росицки (1994 , Глава 1.A)
- ^ Нееман, Амнон. «О производной категории пучков на многообразии» . Документа Математика . 6 : 483–488.
- ^ Холл, Джек; Нееман, Амнон; Рид, Дэвид (3 декабря 2015 г.). «Один положительный и два отрицательных результата для производных категорий алгебраических стеков». arXiv : 1405.1888 [ math.AG ].
- Адамек, Иржи; Росицки, Иржи (1994), Локально презентабельные и доступные категории , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511600579 , ISBN 0-521-42261-2 , МР 1294136
- Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», Журнал Американского математического общества , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669 -7 , МР 2669705 , С2КИД 2202294
- Касивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Springer Verlag, doi : 10.1007/3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5 , МР 2182076
- Лурье, Джейкоб (2009), Высшая теория топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0 , МР 2522659
- Ниман, Амнон (2001), Триангулированные категории , Анналы математических исследований, том. 148, Издательство Принстонского университета