Jump to content

Квазикатегория

(Перенаправлено из категории (бесконечность,1) )

В математике, точнее теории категорий , квазикатегория (также называемая квазикатегорией , слабым комплексом Кана , внутренним комплексом Кана , категорией бесконечности , ∞-категорией , комплексом Бордмана , кватегорией ) является обобщением понятия категории . Исследование таких обобщений известно как теория высших категорий .

Квазикатегории были введены Бордманом и Фогтом (1973) . Андре Жуайал значительно продвинулся в изучении квазикатегорий, показав, что большая часть обычной базовой теории категорий , а также некоторые продвинутые понятия и теоремы имеют аналоги для квазикатегорий. Подробный трактат по теории квазикатегорий был изложен Джейкобом Лурье ( 2009 ).

Квазикатегории — это некоторые симплициальные множества . Как и обычные категории, они содержат объекты (0-симплексы симплициального множества) и морфизмы между этими объектами (1-симплексы). Но в отличие от категорий, композиция двух морфизмов не обязательно должна быть определена однозначно. Все морфизмы, которые могут служить композицией двух данных морфизмов, связаны друг с другом обратимыми морфизмами более высокого порядка (2-симплексами, называемыми «гомотопиями»). Эти морфизмы более высокого порядка также могут быть составлены, но опять-таки композиция четко определена только до обратимых морфизмов еще более высокого порядка и т. д.

Идея теории высших категорий (по крайней мере, теории высших категорий, когда высшие морфизмы обратимы) состоит в том, что в отличие от стандартного понятия категории между двумя объектами должно существовать пространство отображений (а не множество отображений). Это предполагает, что более высокая категория должна быть просто топологически обогащенной категорией . Однако модель квазикатегорий лучше подходит для приложений, чем модель топологически обогащенных категорий, хотя Лурье было доказано, что обе они имеют естественные модельные структуры, эквивалентные Квиллену .

Определение [ править ]

По определению, квазикатегория C — это симплициальное множество, удовлетворяющее внутренним условиям Кана (также называемым слабым условием Кана): каждый внутренний рог в C , а именно карта симплициальных множеств где , имеет заполнитель, то есть расширение карты . (См. Кановское расслоение # Определения для определения симплициальных множеств. и .)

Идея состоит в том, что 2-симплексы предполагается, что они представляют коммутативные треугольники (по крайней мере, с точностью до гомотопии). Карта представляет собой составную пару. Таким образом, в квазикатегории нельзя определить закон композиции морфизмов, поскольку можно выбрать множество способов составления отображений.

Одним из следствий определения является то, что является тривиальным кановским расслоением. Другими словами, хотя закон композиции не определен однозначно, он уникален с точностью до сжимаемого выбора.

Категория гомотопий [ править ]

Данной квазикатегории C ей можно сопоставить обычную категорию , называемую гомотопической категорией C hC . Гомотопическая категория имеет в качестве объектов вершины C. Морфизмы задаются гомотопическими классами ребер между вершинами. Состав задан с использованием условия наполнителя рога для n = 2.

Для общего симплициального множества существует функтор от sSet до Cat , известного как функтор фундаментальной категории , а для квазикатегории C фундаментальная категория совпадает с гомотопической категорией, т.е. .

Примеры [ править ]

  • Нерв категории — это квазикатегория с дополнительным свойством, состоящим в том, что наполнение любого внутреннего рога уникально. И наоборот, квазикатегория, в которой любой внутренний рог имеет уникальное наполнение, изоморфна нерву некоторой категории. Гомотопическая категория нерва C изоморфна C .
  • Учитывая топологическое пространство X , можно определить его сингулярное множество S ( X ), также известное как X. фундаментальный ∞- группоид S ( X ) — квазикатегория, в которой каждый морфизм обратим. Гомотопическая категория S ( X является группоидом X. ) фундаментальным
  • В более общем смысле, чем предыдущий пример, каждый комплекс Кана является примером квазикатегории. В комплексе Кана все карты всех рогов, а не только внутренних, могут быть заполнены, что снова приводит к тому, что все морфизмы в комплексе Кана обратимы. Таким образом, комплексы Кан являются аналогами группоидов: нерв категории является комплексом Кана тогда и только тогда, когда категория является группоидом.

Варианты [ править ]

  • (∞, 1)-категория это не обязательно квазикатегория ∞-категория, в которой все n -морфизмы для n > 1 являются эквивалентностями. Существует несколько моделей (∞, 1)-категорий, включая категорию Сигала , симплициально обогащенную категорию , топологическую категорию , полное пространство Сигала . Квазикатегория также является (∞, 1)-категорией.
  • Структура модели Существует модельная структура на sSet-категориях, которая представляет (∞,1)-категорию (∞,1)Cat.
  • Гомотопическое расширение Кана. Понятие гомотопического расширения Кана и, следовательно, в частности понятия гомотопического предела и гомотопического копредела, имеет прямую формулировку в терминах категорий, обогащенных Кан-комплексом. Дополнительную информацию см. в гомотопическом расширении Кана.
  • Изложение теории (∞,1)-топосов Вся теория (∞,1)-топосов может быть смоделирована в терминах sSet-категорий. (ТоэнВеццоси). Существует понятие sSet-site C, которое моделирует понятие (∞,1)-сайта, и модельную структуру на предпучках, обогащенных sSet, на sSet-сайтах, которая представляет собой представление для ∞-стека (∞,1)-топосов. на С.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Бордман, Дж. М.; Фогт, Р.М. (1973), Гомотопически-инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах , Конспект лекций по математике, вып. 347, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068547 , ISBN.  978-3-540-06479-4 , МР   0420609
  • Грот, Мориц, Краткий курс по категориям бесконечности (PDF)
  • Джоял, Андре (2002), «Квазикатегории и комплексы Кана», Журнал чистой и прикладной алгебры , 175 (1): 207–222, doi : 10.1016/S0022-4049(02)00135-4 , MR   1935979
  • Джоял, Андре ; Тирни, Майлз (2007), «Квазикатегории против пространств Сигала», Категории в алгебре, геометрии и математической физике , Contemp. Матем., вып. 431, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR   2342834.
  • Джоял, А. (2008), Теория квазикатегорий и ее приложения, лекции в CRM Barcelona (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
  • Джоял А., Заметки о квазикатегориях (PDF)
  • Лурье, Джейкоб (2009), Высшая теория топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN  978-0-691-14049-0 , МР   2522659
  • Запись Джояла в Catlab: Теория квазикатегорий
  • квазикатегория в n Lab
  • категория бесконечности в n Lab
  • фундаментальная+категория в n Lab
  • Бергнер, Джулия Э (2011). «Практикум по гомотопической теории гомотопических теорий». arXiv : 1108.2001 [ math.AT ].
  • (∞, 1)-категория в n Lab
  • Хинич, Владимир (19 сентября 2017 г.). «Лекции о категориях бесконечности». arXiv : 1709.06271 [ math.CT ].
  • Тоен, Бертран; Веццози, Габриэле (2005), «Гомотопическая алгебраическая геометрия I: теория топоса», Успехи в математике , 193 (2): 257–372, arXiv : math.AG/0207028 , doi : 10.1016/j.aim.2004.05.004
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: dc11c854e208eebbb6383be43884a0e4__1709928540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/dc/e4/dc11c854e208eebbb6383be43884a0e4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quasi-category - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)