Квазикатегория

В математике, точнее теории категорий , квазикатегория (также называемая квазикатегорией , слабым комплексом Кана , внутренним комплексом Кана , категорией бесконечности , ∞-категорией , комплексом Бордмана , кватегорией ) является обобщением понятия категории . Исследование таких обобщений известно как теория высших категорий .

Квазикатегории были введены Бордманом и Фогтом (1973) . Андре Жуайал значительно продвинулся в изучении квазикатегорий, показав, что большая часть обычной базовой теории категорий , а также некоторые продвинутые понятия и теоремы имеют аналоги для квазикатегорий. Подробный трактат по теории квазикатегорий был изложен Джейкобом Лурье ( 2009 ).

Квазикатегории — это некоторые симплициальные множества . Как и обычные категории, они содержат объекты (0-симплексы симплициального множества) и морфизмы между этими объектами (1-симплексы). Но в отличие от категорий, композиция двух морфизмов не обязательно должна быть определена однозначно. Все морфизмы, которые могут служить композицией двух данных морфизмов, связаны друг с другом обратимыми морфизмами более высокого порядка (2-симплексами, называемыми «гомотопиями»). Эти морфизмы более высокого порядка также могут быть составлены, но опять-таки композиция четко определена только до обратимых морфизмов еще более высокого порядка и т. д.

Идея теории высших категорий (по крайней мере, теории высших категорий, когда высшие морфизмы обратимы) состоит в том, что в отличие от стандартного понятия категории между двумя объектами должно существовать пространство отображений (а не множество отображений). Это предполагает, что более высокая категория должна быть просто топологически обогащенной категорией . Однако модель квазикатегорий лучше подходит для приложений, чем модель топологически обогащенных категорий, хотя Лурье было доказано, что обе они имеют естественные модельные структуры, эквивалентные Квиллену .

Определение

По определению, квазикатегория C — это симплициальное множество, удовлетворяющее внутренним условиям Кана (также называемым слабым условием Кана): каждый внутренний рог в C , а именно карта симплициальных множеств $\Lambda ^{k}[n]\to C$ где $0<k<n$, имеет заполнитель, то есть расширение карты $\Delta [n]\to C$. (См. Кановское расслоение # Определения для определения симплициальных множеств. $\Delta [n]$ и $\Lambda ^{k}[n]$.)

Идея состоит в том, что 2-симплексы $\Delta [2]\to C$ предполагается, что они представляют коммутативные треугольники (по крайней мере, с точностью до гомотопии). Карта $\Lambda ^{1}[2]\to C$ представляет собой составную пару. Таким образом, в квазикатегории нельзя определить закон композиции морфизмов, поскольку можно выбрать множество способов составления отображений.

Одним из следствий определения является то, что $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ является тривиальным кановским расслоением. Другими словами, хотя закон композиции не определен однозначно, он уникален с точностью до сжимаемого выбора.

Категория гомотопий

Данной квазикатегории C ей можно сопоставить обычную категорию , называемую гомотопической категорией C hC . Гомотопическая категория имеет в качестве объектов вершины C. Морфизмы задаются гомотопическими классами ребер между вершинами. Состав задан с использованием условия наполнителя рога для n = 2.

Для общего симплициального множества существует функтор $\tau _{1}$ от sSet до Cat , известного как функтор фундаментальной категории , а для квазикатегории C фундаментальная категория совпадает с гомотопической категорией, т.е. $\tau _{1}(C)=hC$.

Примеры

• Нерв категории — это квазикатегория с дополнительным свойством, состоящим в том, что наполнение любого внутреннего рога уникально. И наоборот, квазикатегория, в которой любой внутренний рог имеет уникальное наполнение, изоморфна нерву некоторой категории. Гомотопическая категория нерва C изоморфна C .
• Учитывая топологическое пространство X , можно определить его сингулярное множество S ( X ), также известное как X. фундаментальный ∞- группоид S ( X ) — квазикатегория, в которой каждый морфизм обратим. Гомотопическая категория S ( X является группоидом X. ) фундаментальным
• В более общем смысле, чем предыдущий пример, каждый комплекс Кана является примером квазикатегории. В комплексе Кана все карты всех рогов, а не только внутренних, могут быть заполнены, что снова приводит к тому, что все морфизмы в комплексе Кана обратимы. Таким образом, комплексы Кан являются аналогами группоидов: нерв категории является комплексом Кана тогда и только тогда, когда категория является группоидом.

Варианты

• — (∞, 1)-категория это не обязательно квазикатегория ∞-категория, в которой все n -морфизмы для n > 1 являются эквивалентностями. Существует несколько моделей (∞, 1)-категорий, включая категорию Сигала , симплициально обогащенную категорию , топологическую категорию , полное пространство Сигала . Квазикатегория также является (∞, 1)-категорией.
• Структура модели Существует модельная структура на sSet-категориях, которая представляет (∞,1)-категорию (∞,1)Cat.
• Гомотопическое расширение Кана. Понятие гомотопического расширения Кана и, следовательно, в частности понятия гомотопического предела и гомотопического копредела, имеет прямую формулировку в терминах категорий, обогащенных Кан-комплексом. Дополнительную информацию см. в гомотопическом расширении Кана.
• Изложение теории (∞,1)-топосов Вся теория (∞,1)-топосов может быть смоделирована в терминах sSet-категорий. (ТоэнВеццоси). Существует понятие sSet-site C, которое моделирует понятие (∞,1)-сайта, и модельную структуру на предпучках, обогащенных sSet, на sSet-сайтах, которая представляет собой представление для ∞-стека (∞,1)-топосов. на С.

См. также

• Категория модели
• Стабильная категория бесконечности
• ∞-группоид
• Теория высших категорий
• Шаровидный набор

Ссылки

• Бордман, Дж. М.; Фогт, Р.М. (1973), Гомотопически-инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах , Конспект лекций по математике, вып. 347, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068547 , ISBN.  978-3-540-06479-4 , МР   0420609
• Грот, Мориц, Краткий курс по категориям бесконечности (PDF)
• Джоял, Андре (2002), «Квазикатегории и комплексы Кана», Журнал чистой и прикладной алгебры , 175 (1): 207–222, doi : 10.1016/S0022-4049(02)00135-4 , MR   1935979
• Джоял, Андре ; Тирни, Майлз (2007), «Квазикатегории против пространств Сигала», Категории в алгебре, геометрии и математической физике , Contemp. Матем., вып. 431, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR   2342834.
• Джоял, А. (2008), Теория квазикатегорий и ее приложения, лекции в CRM Barcelona (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
• Джоял А., Заметки о квазикатегориях (PDF)
• Лурье, Джейкоб (2009), Высшая теория топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN  978-0-691-14049-0 , МР   2522659
• Запись Джояла в Catlab: Теория квазикатегорий
• квазикатегория в n Lab
• категория бесконечности в n Lab
• фундаментальная+категория в n Lab
• Бергнер, Джулия Э (2011). «Практикум по гомотопической теории гомотопических теорий». arXiv : 1108.2001 [ math.AT ].
• (∞, 1)-категория в n Lab
• Хинич, Владимир (19 сентября 2017 г.). «Лекции о категориях бесконечности». arXiv : 1709.06271 [ math.CT ].
• Тоен, Бертран; Веццози, Габриэле (2005), «Гомотопическая алгебраическая геометрия I: теория топоса», Успехи в математике , 193 (2): 257–372, arXiv : math.AG/0207028 , doi : 10.1016/j.aim.2004.05.004