Стабильная ∞-категория

В теории категорий , разделе математики, стабильная ∞-категория — это ∞-категория такая, что ^[1]

(i) Он имеет нулевой объект .
(ii) Каждый морфизм в нем допускает слой и кослой.
(iii) Треугольник в нем является последовательностью слоев тогда и только тогда, когда он является кослоем .

Гомотопическая категория стабильной ∞-категории триангулирована . ^[2] Стабильная ∞-категория допускает конечные пределы и копределы . ^[3]

Примеры: производная категория абелевой категории и ∞-категория спектров устойчивы.

Стабилизацией , имеющей конечные пределы и базовую точку , ∞ -категории C является функтор из стабильной ∞-категории S в C . Он сохраняет лимит. Объекты на изображении имеют структуру бесконечных циклических пространств; следовательно, это понятие является обобщением соответствующего понятия ( стабилизация (топология) ) в классической алгебраической топологии .

По определению t-структура стабильной ∞-категории является t-структурой ее гомотопической категории. Пусть C — стабильная ∞-категория с t-структурой. Тогда каждый отфильтрованный объект $X(i),i\in \mathbb {Z}$ в C порождает спектральную последовательность $E_{r}^{p,q}$ , которое при некоторых условиях сходится к $\pi _{p+q}\operatorname {colim} X(i).$ ^[4] По соотношению Долда–Кана это обобщает конструкцию спектральной последовательности , ассоциированной с фильтрованным цепным комплексом абелевых групп .