Радонизирующая функция

В теории меры ( радонифицирующая функция в конечном итоге названная в честь Иоганна Радона ) между измеримыми пространствами — это функция, которая преобразует меру цилиндрического множества (CSM) в первом пространстве в истинную меру во втором пространстве. Свое название она получила потому, что мера продвижения во втором пространстве исторически считалась мерой Радона .

Определение

Даны два сепарабельных банаховых пространства. $E$ и $G$ , в ЦСМ $\{\mu _{T}|T\in {\mathcal {A}}(E)\}$ на $E$ и непрерывное линейное отображение $\theta \in \mathrm {Lin} (E;G)$ , мы говорим, что $\theta$ радонизирует , если продвигать CSM (см. ниже) $\left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}$ на $G$ «есть» мера, т.е. существует мера $\nu$ на $G$ такой, что

\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=S_{*}(\nu )

для каждого $S\in {\mathcal {A}}(G)$ , где $S_{*}(\nu )$ это обычное продвижение меры $\nu$ по линейной карте $S:G\to F_{S}$ .

Продвижение CSM вперед

Поскольку определение CSM на $G$ требует, чтобы карты в ${\mathcal {A}}(G)$ быть сюръективным , определение продвижения вперед для CSM требует пристального внимания. CSM

\left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}

определяется

\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=\mu _{S\circ \theta }

если состав $S\circ \theta :E\to F_{S}$ является сюръективным. Если $S\circ \theta$ не сюръективно, пусть ${\tilde {F}}$ быть образом $S\circ \theta$ , позволять $i:{\tilde {F}}\to F_{S}$ быть картой включения и определить

\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=i_{*}\left(\mu _{\Sigma }\right)

,

где $\Sigma :E\to {\tilde {F}}$ (так $\Sigma \in {\mathcal {A}}(E)$ ) таков, что $i\circ \Sigma =S\circ \theta$ .

См. также

Абстрактное пространство Винера - сепарабельное банахово пространство, снабженное гильбертовым подпространством, такое, что стандартная мера цилиндрического множества в гильбертовом подпространстве индуцирует гауссову меру во всем банаховом пространстве.
Классическое Винеровское пространство
Sazonov's theorem

Ссылки

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold