Эпи-конвергенция

В математическом анализе эпи -конвергенция — это тип сходимости вещественных и расширенных вещественных функций.

Эпи-сходимость важна, потому что это подходящее понятие сходимости, с помощью которого можно аппроксимировать задачи минимизации в области математической оптимизации . Симметричное понятие гипосходимости подходит для задач максимизации. Сходимость Моско — это обобщение эпи-сходимости на бесконечномерные пространства.

Определение

Позволять $X$ быть метрическим пространством и $f_{n}:X\to \mathbb {R}$ вещественная функция для каждого натурального числа $n$. Мы говорим, что последовательность $(f^{n})$ эпи-сходится к функции $f:X\to \mathbb {R}$ если для каждого $x\in X$

${\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.\end{aligned}}$

Расширенное действительное расширение

Следующее расширение позволяет применять эпи-сходимость к последовательности функций с непостоянной областью определения.

Обозначим через ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ расширенные действительные числа . Позволять $f_{n}$ быть функцией $f_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ для каждого $n\in \mathbb {N}$. Последовательность $(f_{n})$ эпи-сходится к $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ если для каждого $x\in X$

${\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.\end{aligned}}$

Фактически эпиконвергенция совпадает с $\Gamma$-сходимость в первых счетных пространствах.

Гипоконвергенция

Эпи-конвергенция — это подходящая топология для аппроксимации задач минимизации. Для задач максимизации используется симметричное понятие гипосходимости . $(f_{n})$ гипосходится к $f$ если

$\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x$

и

$\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.$

Связь с задачами минимизации

Предположим, у нас есть сложная задача минимизации.

$\inf _{x\in C}g(x)$

где $g:X\to \mathbb {R}$ и $C\subseteq X$. Мы можем попытаться аппроксимировать эту задачу последовательностью более простых задач.

$\inf _{x\in C_{n}}g_{n}(x)$

для функций $g_{n}$ и наборы $C_{n}$.

Эпи-сходимость дает ответ на вопрос: в каком смысле аппроксимации должны сходиться к исходной задаче, чтобы гарантировать сходимость приближенных решений к решению исходной?

Мы можем встроить эти задачи оптимизации в структуру эпиконвергенции, определив расширенные функции с действительным знаком.

${\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\not \in C,\end{cases}}\\[4pt]f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\in C_{n},\\\infty ,&x\not \in C_{n}.\end{cases}}\end{aligned}}$

Чтобы проблемы $\inf _{x\in X}f(x)$ и $\inf _{x\in X}f_{n}(x)$ эквивалентны исходной и приближенной задачам соответственно.

Если $(f_{n})$ эпи-сходится к $f$, затем $\limsup _{n\to \infty }[\inf f_{n}]\leq \inf f$. Кроме того, если $x$ является предельной точкой минимизаторов $f_{n}$, затем $x$ является минимизатором $f$. В этом смысле

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {argmin} f_{n}\subseteq \operatorname {argmin} f.$

Эпи-сходимость — самое слабое понятие сходимости, для которого справедлив этот результат.

Характеристики

• $(f_{n})$ эпи-сходится к $f$ тогда и только тогда, когда $(-f_{n})$ гипосходится к $-f$.
• $(f_{n})$ эпи-сходится к $f$ тогда и только тогда, когда $(\operatorname {epi} f_{n})$ сходится к $\operatorname {epi} f$ как множества в Пенлеве – Куратовского смысле сходимости множеств . Здесь, $\operatorname {epi} f$ является эпиграфом функции $f$.
• Если $f_{n}$ эпи-сходится к $f$, затем $f$ является полунепрерывным снизу.
• Если $f_{n}$ является выпуклым для каждого $n\in \mathbb {N}$ и $(f_{n})$ эпи-сходится к $f$, затем $f$ является выпуклым.
• Если $f_{n}^{1}\leq f_{n}\leq f_{n}^{2}$ и оба $(f_{n}^{1})$ и $(f_{n}^{2})$ эпи-сходиться к $f$, затем $(f_{n})$ эпи-сходится к $f$.
• Если $(f_{n})$ сходится равномерно к $f$ на каждом компактном наборе $\mathbb {R} _{n}$ и $(f_{n})$ непрерывны, то $(f_{n})$ эписходится и гипосходится к $f$.
• В общем, эпи-сходимость не подразумевает и не подразумевает поточечную сходимость . Дополнительные предположения могут быть сделаны в отношении поточечно сходящегося семейства функций, чтобы гарантировать эписходимость.

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер (2009). «Эпиграфические пределы». Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Springer Science & Business Media. стр. 238–297. дои : 10.1007/978-3-642-02431-3_7 . ISBN  978-3-540-62772-2 .
• Калл, Питер (1986). «Приближение к задачам оптимизации: элементарный обзор». Математика исследования операций . 11 (1): 9–18. дои : 10.1287/moor.11.1.9 .
• Аттач, Хеди; Уэтс, Роджер (1989). «Эпиграфический анализ». Летопись Института Анри Пуанкаре К. 6 :73–100. Бибкод : 1989AIHPC...6...73A . дои : 10.1016/S0294-1449(17)30036-7 .