Конвергенция Вейсмана

Сходимость Вейсмана — разновидность сходимости Хаусдорфа, подходящая для работы с неограниченными множествами . Интуитивно понятно, что сходимость Вейсмана означает сходимость в метрике Хаусдорфа, так же как поточечная сходимость означает равномерную сходимость .

История

Сходимость была определена Робертом Вейсманом . ^{[ 1 ]} Такое же определение ранее использовал Зденек Фролик . ^{[ 2 ]} Еще раньше Хаусдорф в своей книге «Grundzüge der Mengenlehre» определил так называемые закрытые пределы ; для собственных метрических пространств это то же самое, что сходимость по Вейсману.

Определение

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство и пусть Cl( ) обозначает совокупность всех d -замкнутых подмножеств X. X Для точки x ∈ X и множества A ∈ Cl( X ) положим

d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a).

Последовательность (или сеть ) множеств A _i ∈ Cl( X ) называется сходящейся по Вейсману к A ∈ Cl( X если для каждого x ∈ X ) ,

d(x,A_{i})\to d(x,A).

Сходимость Вейсмана индуцирует топологию на Cl( X ), известную как топология Вейсмана .

Характеристики

Топология Вейсмана очень сильно зависит от метрики d . Даже если две метрики одинаково эквивалентны, они могут порождать разные топологии Вейсмана.
Теорема Бера : если ( X , d ) — полное , сепарабельное метрическое пространство, то Cl( X ) с топологией Вейсмана — польское пространство , т. е. оно сепарабельно и метризуемо с полной метрикой.
Cl( X ) с топологией Вейсмана всегда является тихоновским пространством . Более того, справедлива теорема Леви-Лечицкого : ( X , d ) сепарабельна тогда и только тогда, когда Cl( X ) либо метризуемо, либо счетно по первому счету , либо счетно по второму разу .
Если поточечную сходимость сходимости Вейсмана заменить равномерной сходимостью (равномерно по x ), то получится сходимость по Хаусдорфу, где метрика Хаусдорфа задается выражением

d_{\mathrm {H} }(A,B)=\sup _{x\in X}{\big |}d(x,A)-d(x,B){\big |}.

Топологии Хаусдорфа и Вейсмана на Cl( X ) совпадают тогда и только тогда, когда ( X , d ) — вполне ограниченное пространство .

См. также

Ссылки

Примечания

^ Вейсман, Роберт А. (1966). «Сходимость последовательностей выпуклых множеств, конусов и функций. II» . Пер. амер. Математика. Соц . 123 (1). Американское математическое общество: 32–45. дои : 10.2307/1994611 . JSTOR 1994611 . МИСТЕР 0196599
^ З. Фролик, О топологической сходимости множеств, Чехословакская математика. Дж. 10 (1960), 168–180

Библиография

Бир, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. xii+340. ISBN 0-7923-2531-1 . МИСТЕР 1269778
Бир, Джеральд (1994). «Конвергенция Вейсмана: обзор». Анал с заданным значением . 2 (1–2): 77–94. дои : 10.1007/BF01027094 . МИСТЕР 1285822

Внешние ссылки

Сом Наймпалли (2001) [1994], «Сходимость Висмана» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Вейсман, Роберт А. (1966). «Сходимость последовательностей выпуклых множеств, конусов и функций. II» . Пер. амер. Математика. Соц . 123 (1). Американское математическое общество: 32–45. дои : 10.2307/1994611 . JSTOR 1994611 . МИСТЕР 0196599

[2] З. Фролик, О топологической сходимости множеств, Чехословакская математика. Дж. 10 (1960), 168–180

[ 1 ]

[ 2 ]