Замыкание (математика)
В математике подмножество данного набора закрывается с большим набором , при операции если выполнение этой операции над членами подмножества всегда создает член этого подмножества. Например, натуральные числа замкнуты при сложении, но не при вычитании: 1 - 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются таковыми.
Аналогично, подмножество называется закрытым для набора операций, если оно закрыто для каждой из операций в отдельности.
Закрытие применения подмножества является результатом оператора замыкания к подмножеству . Замыкание . подмножества при некоторых операциях — это наименьшее надмножество, закрывающееся при этих операциях Его часто называют промежутком (например , линейным пролетом ) или сгенерированным набором .
Определения
[ редактировать ]Пусть S — множество, одним или несколькими методами создания элементов S из других элементов S. оснащенное [примечание 1] Подмножество X из S называется замкнутым этих методов, если, когда все входные элементы находятся в X , то все возможные результаты также находятся в X. при использовании Иногда можно также сказать, что X имеет закрытие свойство .
Основное свойство замкнутых множеств, вытекающее непосредственно из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Отсюда следует, что для каждого подмножества Y из S существует наименьшее замкнутое подмножество X из S такое, что (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Y ). В зависимости от контекста X называется замыканием Y , множества порожденного или охватываемого Y или .
Понятия замкнутых множеств и замыкания часто распространяются на любые свойства подмножеств, устойчивые при пересечении; то есть каждое пересечение подмножеств, имеющих это свойство, также имеет это свойство. Например, в множество Замкнутое по Зарисскому , , также известное как алгебраическое множество — это множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание Зариского множества V точек — это наименьшее алгебраическое множество, V. содержащее
В алгебраических структурах
[ редактировать ]Алгебраическая структура — это набор операций , удовлетворяющих некоторым аксиомам . Эти аксиомы могут быть тождествами . Некоторые аксиомы могут содержать кванторы существования. в этом случае стоит добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально кванторными формулами. см . в разделе «Алгебраическая структура» Подробности .
В этом контексте, учитывая алгебраическую структуру — это подмножество , S, подструктура S которое замкнуто относительно всех операций S , включая вспомогательные операции, которые необходимы для того, чтобы избежать кванторов существования. Подструктура — это алгебраическая структура того же типа, что S. и Отсюда следует, что на конкретном примере, когда близость доказана, нет необходимости проверять аксиомы доказательства того, что подструктура является структурой одного типа.
Учитывая подмножество X алгебраической структуры S , замыкание X является наименьшей подструктурой S которая замкнута относительно всех операций S. , В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, , и говорят , порожденной или натянутой X что X является порождающим набором подструктуры.
Например, группа — это набор с ассоциативной операцией , часто называемой умножением , с единичным элементом , так что каждый элемент имеет обратный элемент . Здесь вспомогательными операциями являются нулевая операция, приводящая к единичному элементу, и унарная операция инверсии. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, также замкнуто относительно нулевой операции (т. е. содержит единицу) тогда и только тогда, когда оно непусто. Итак, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и обращения, — это группа, называемая подгруппой . Подгруппа, порожденная одним элементом, то есть замыканием этого элемента, называется циклической группой .
В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (при операциях в векторном пространстве, то есть сложении и скалярном умножении) является линейной оболочкой этого подмножества. Согласно предыдущему общему результату, это векторное пространство, и можно легко доказать, что оно представляет собой множество линейных комбинаций элементов подмножества.
Подобные примеры можно привести почти для всех алгебраических структур, иногда с использованием некоторой специфической терминологии. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента при идеальных операциях называется главным идеалом .
Бинарные отношения
[ редактировать ]Бинарное отношение на множестве A можно определить как подмножество R множества. множество упорядоченных пар элементов A . Обозначения обычно используется для Многие свойства или операции над отношениями могут использоваться для определения замыканий. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных:
- Рефлексивность
- Отношение R на множестве A рефлексивно , если для каждого Поскольку каждое пересечение рефлексивных отношений рефлексивно, это определяет замыкание. Таким образом, рефлексивное замыкание отношения R есть
- Симметрия
- Симметрия – это унарная операция над это отображает к Отношение называется симметричным, если оно замкнуто относительно этой операции, а симметричным замыканием отношения R является его замыкание относительно этого отношения.
- Транзитивность
- Транзитивность определяется частичной бинарной операцией над это отображает и к Отношение является транзитивным, если оно замкнуто при этой операции, а транзитивным замыканием отношения является его закрытие при этой операции.
Предварительный порядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным. Отсюда следует, что рефлексивное транзитивное замыкание отношения — это наименьший предпорядок, содержащий его. Аналогично, рефлексивное транзитивное симметричное замыкание или замыкание эквивалентности отношения — это наименьшее отношение эквивалентности , которое его содержит.
Другие примеры
[ редактировать ]- В теории матроидов замыкание X — это самое большое надмножество X , имеющее тот же ранг, что X. и
- Транзитивное замыкание множества . [1]
- Алгебраическое замыкание поля . [2]
- Целое замыкание области целостности в поле . содержащем ее
- Радикал идеала в коммутативном кольце .
- В геометрии выпуклая оболочка множества S точек — это наименьшее выпуклое множество которого S. является подмножеством , [3]
- В формальных языках языка замыкание Клини можно описать как набор строк, которые можно создать путем объединения нуля или более строк из этого языка.
- В теории групп сопряженное замыкание или нормальное замыкание набора элементов группы — это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая этот набор.
- В математическом анализе и теории вероятностей замыкание набора подмножеств X при счетном числе операций над множествами называется σ-алгеброй , порожденной набором.
Оператор закрытия
[ редактировать ]В предыдущих разделах замыкания рассматривались для подмножеств данного множества. Подмножества множества образуют частично упорядоченное множество (poset) для включения . Операторы замыкания позволяют обобщить концепцию замыкания на любое частично упорядоченное множество.
Для данного частичного порядка S , частичный порядок которого обозначается знаком ≤ , оператор замыкания на S является функцией то есть
- увеличивается ( для всех ),
- идемпотент ( ), и
- монотонный ( ). [4]
Эквивалентно, функция из S в S является оператором замыкания, если для всех
Элемент S замкнут , если он является замыканием самого себя, то есть если По идемпотентности элемент замкнут тогда и только тогда, когда он является замыканием некоторого элемента S .
Примером может служить оператор топологического замыкания ; в характеристике Куратовского аксиомы К2, К3, К4' соответствуют указанным выше определяющим свойствам. Примером, не работающим с подмножествами, является функция потолка , которая отображает каждое действительное число x в наименьшее целое число, не меньшее x .
Оператор замыкания против закрытых множеств
[ редактировать ]Замыкание подмножеств данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо набором замкнутых множеств, устойчивым при пересечении и включающим данное множество. Эти два определения эквивалентны.
Действительно, из определяющих свойств оператора замыкания C следует, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: если является пересечением замкнутых множеств, то должен содержать X и содержаться в каждом Это подразумевает по определению перекрестка.
И наоборот, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания C такой, что является пересечением замкнутых множеств, содержащих X .
Эта эквивалентность остается верной для частично упорядоченных множеств со свойством наибольшей нижней границы , если заменить «замкнутые множества» на «замкнутые элементы», а «пересечение» на «наибольшую нижнюю границу».
Примечания
[ редактировать ]- ^ Операции и ( частичные ) многомерные функции являются примерами таких методов. Если S — топологическое пространство , предел последовательности элементов S является примером, когда входных элементов бесконечное количество, а результат не всегда определен. Если S — поле, в корни S многочлена с S коэффициентами из — еще один пример, когда результат может быть неуникален.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Транзитивное замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
- ^ Бернштейн, Деннис С. (2005). Матричная математика: теория, факты и формулы в приложении к теории линейных систем . Издательство Принстонского университета. п. 25. ISBN 978-0-691-11802-4 .
...выпуклая оболочка S, обозначаемая coS, представляет собой наименьшее выпуклое множество, содержащее S.
- ^ Биркгоф, Гаррет (1967). Теория решетки . Публикации коллоквиума. Том. 25. Ам. Математика. Соц. п. 111. ИСБН 9780821889534 .