Jump to content

Замыкание (математика)

(Перенаправлено из Закрыто в раздел )

В математике подмножество данного набора закрывается с большим набором , при операции если выполнение этой операции над членами подмножества всегда создает член этого подмножества. Например, натуральные числа замкнуты при сложении, но не при вычитании: 1 - 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются таковыми.

Аналогично, подмножество называется закрытым для набора операций, если оно закрыто для каждой из операций в отдельности.

Закрытие применения подмножества является результатом оператора замыкания к подмножеству . Замыкание . подмножества при некоторых операциях — это наименьшее надмножество, закрывающееся при этих операциях Его часто называют промежутком (например , линейным пролетом ) или сгенерированным набором .

Определения

[ редактировать ]

Пусть S множество, одним или несколькими методами создания элементов S из других элементов S. оснащенное [примечание 1] Подмножество X из S называется замкнутым этих методов, если, когда все входные элементы находятся в X , то все возможные результаты также находятся в X. при использовании Иногда можно также сказать, что X имеет закрытие свойство .

Основное свойство замкнутых множеств, вытекающее непосредственно из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Отсюда следует, что для каждого подмножества Y из S существует наименьшее замкнутое подмножество X из S такое, что (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Y ). В зависимости от контекста X называется замыканием Y , множества порожденного или охватываемого Y или .

Понятия замкнутых множеств и замыкания часто распространяются на любые свойства подмножеств, устойчивые при пересечении; то есть каждое пересечение подмножеств, имеющих это свойство, также имеет это свойство. Например, в множество Замкнутое по Зарисскому , , также известное как алгебраическое множество — это множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание Зариского множества V точек — это наименьшее алгебраическое множество, V. содержащее

В алгебраических структурах

[ редактировать ]

Алгебраическая структура — это набор операций , удовлетворяющих некоторым аксиомам . Эти аксиомы могут быть тождествами . Некоторые аксиомы могут содержать кванторы существования. в этом случае стоит добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально кванторными формулами. см . в разделе «Алгебраическая структура» Подробности .

В этом контексте, учитывая алгебраическую структуру это подмножество , S, подструктура S которое замкнуто относительно всех операций S , включая вспомогательные операции, которые необходимы для того, чтобы избежать кванторов существования. Подструктура — это алгебраическая структура того же типа, что S. и Отсюда следует, что на конкретном примере, когда близость доказана, нет необходимости проверять аксиомы доказательства того, что подструктура является структурой одного типа.

Учитывая подмножество X алгебраической структуры S , замыкание X является наименьшей подструктурой S которая замкнута относительно всех операций S. , В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, , и говорят , порожденной или натянутой X что X является порождающим набором подструктуры.

Например, группа — это набор с ассоциативной операцией , часто называемой умножением , с единичным элементом , так что каждый элемент имеет обратный элемент . Здесь вспомогательными операциями являются нулевая операция, приводящая к единичному элементу, и унарная операция инверсии. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, также замкнуто относительно нулевой операции (т. е. содержит единицу) тогда и только тогда, когда оно непусто. Итак, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и обращения, — это группа, называемая подгруппой . Подгруппа, порожденная одним элементом, то есть замыканием этого элемента, называется циклической группой .

В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (при операциях в векторном пространстве, то есть сложении и скалярном умножении) является линейной оболочкой этого подмножества. Согласно предыдущему общему результату, это векторное пространство, и можно легко доказать, что оно представляет собой множество линейных комбинаций элементов подмножества.

Подобные примеры можно привести почти для всех алгебраических структур, иногда с использованием некоторой специфической терминологии. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента при идеальных операциях называется главным идеалом .

Бинарные отношения

[ редактировать ]

Бинарное отношение на множестве A можно определить как подмножество R множества. множество упорядоченных пар элементов A . Обозначения обычно используется для Многие свойства или операции над отношениями могут использоваться для определения замыканий. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных:

Рефлексивность
Отношение R на множестве A рефлексивно , если для каждого Поскольку каждое пересечение рефлексивных отношений рефлексивно, это определяет замыкание. Таким образом, рефлексивное замыкание отношения R есть
Симметрия
Симметрия – это унарная операция над это отображает к Отношение называется симметричным, если оно замкнуто относительно этой операции, а симметричным замыканием отношения R является его замыкание относительно этого отношения.
Транзитивность
Транзитивность определяется частичной бинарной операцией над это отображает и к Отношение является транзитивным, если оно замкнуто при этой операции, а транзитивным замыканием отношения является его закрытие при этой операции.

Предварительный порядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным. Отсюда следует, что рефлексивное транзитивное замыкание отношения — это наименьший предпорядок, содержащий его. Аналогично, рефлексивное транзитивное симметричное замыкание или замыкание эквивалентности отношения — это наименьшее отношение эквивалентности , которое его содержит.

Другие примеры

[ редактировать ]

Оператор закрытия

[ редактировать ]

В предыдущих разделах замыкания рассматривались для подмножеств данного множества. Подмножества множества образуют частично упорядоченное множество (poset) для включения . Операторы замыкания позволяют обобщить концепцию замыкания на любое частично упорядоченное множество.

Для данного частичного порядка S , частичный порядок которого обозначается знаком , оператор замыкания на S является функцией то есть

  • увеличивается ( для всех ),
  • идемпотент ( ), и
  • монотонный ( ). [4]

Эквивалентно, функция из S в S является оператором замыкания, если для всех

Элемент S замкнут , если он является замыканием самого себя, то есть если По идемпотентности элемент замкнут тогда и только тогда, когда он является замыканием некоторого элемента S .

Примером может служить оператор топологического замыкания ; в характеристике Куратовского аксиомы К2, К3, К4' соответствуют указанным выше определяющим свойствам. Примером, не работающим с подмножествами, является функция потолка , которая отображает каждое действительное число x в наименьшее целое число, не меньшее x .

Оператор замыкания против закрытых множеств

[ редактировать ]

Замыкание подмножеств данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо набором замкнутых множеств, устойчивым при пересечении и включающим данное множество. Эти два определения эквивалентны.

Действительно, из определяющих свойств оператора замыкания C следует, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: если является пересечением замкнутых множеств, то должен содержать X и содержаться в каждом Это подразумевает по определению перекрестка.

И наоборот, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания C такой, что является пересечением замкнутых множеств, содержащих X .

Эта эквивалентность остается верной для частично упорядоченных множеств со свойством наибольшей нижней границы , если заменить «замкнутые множества» на «замкнутые элементы», а «пересечение» на «наибольшую нижнюю границу».

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Операции и ( частичные ) многомерные функции являются примерами таких методов. Если S топологическое пространство , предел последовательности элементов S является примером, когда входных элементов бесконечное количество, а результат не всегда определен. Если S поле, в корни S многочлена с S коэффициентами из еще один пример, когда результат может быть неуникален.
  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Транзитивное замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
  3. ^ Бернштейн, Деннис С. (2005). Матричная математика: теория, факты и формулы в приложении к теории линейных систем . Издательство Принстонского университета. п. 25. ISBN  978-0-691-11802-4 . ...выпуклая оболочка S, обозначаемая coS, представляет собой наименьшее выпуклое множество, содержащее S.
  4. ^ Биркгоф, Гаррет (1967). Теория решетки . Публикации коллоквиума. Том. 25. Ам. Математика. Соц. п. 111. ИСБН  9780821889534 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d6a3d42403a03714ffe902e4b422cd53__1712062380
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d6/53/d6a3d42403a03714ffe902e4b422cd53.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Closure (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)