Метод распространения луча

Метод распространения луча ( BPM ) представляет собой аппроксимационный метод моделирования распространения света в медленно меняющихся оптических волноводах . По сути, это то же самое, что и так называемый метод параболического уравнения (ПЭ) в подводной акустике . И BPM, и PE были впервые представлены в 1970-х годах. При распространении волны по волноводу на большое расстояние (большее по сравнению с длиной волны) строгое численное моделирование затруднено. BPM опирается на приближенные дифференциальные уравнения, которые также называют односторонними моделями. Эти односторонние модели включают только производную первого порядка по переменной z (для оси волновода) и могут быть решены как задача «начального» значения. Проблема «начального» значения касается не времени, а пространственной переменной z.

Исходные BPM и PE были получены на основе приближения медленно меняющейся оболочки и представляют собой так называемые параксиальные односторонние модели. С тех пор был представлен ряд улучшенных односторонних моделей. Они основаны на односторонней модели, включающей оператор квадратного корня. Они получены путем применения рациональных аппроксимаций к оператору извлечения квадратного корня. После того как получена односторонняя модель, ее все равно придется решать путем дискретизации переменной z. Однако можно объединить два шага (рациональная аппроксимация оператора квадратного корня и дискретизация z) в один шаг. А именно, можно напрямую найти рациональные аппроксимации так называемого одностороннего пропагатора (экспоненты оператора квадратного корня). Рациональные приближения нетривиальны. Стандартные диагональные аппроксимации Паде имеют проблемы с так называемыми затухающими модами. Эти затухающие моды должны быстро затухать по z, но диагональные аппроксиманты Паде будут неправильно распространять их как распространяющиеся моды вдоль волновода. Теперь доступны модифицированные рациональные аппроксиманты, которые могут подавить затухающие моды. Точность BPM можно еще больше повысить, если вы используете энергосберегающую одностороннюю модель или одностороннюю модель с одиночным рассеянием.

Принципы

BPM обычно формулируется как решение уравнения Гельмгольца в случае гармоники времени:

$(\nabla ^{2}+k_{0}^{2}n^{2})\psi =0$

с полем, написанным как,

$E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)$.

Теперь пространственная зависимость этого поля записана по какой-либо одной ТЕ или ТМ поляризации.

$\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)$,

с конвертом

$A(x,y)$ следуя медленно меняющемуся приближению,

${\frac {\partial ^{2}(A(x,y))}{\partial y^{2}}}=0$

Теперь решение, замененное уравнением Гельмгольца, будет следующим:

$\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+k_{0}^{2}(n^{2}-\nu ^{2})\right]A(x,y)=\pm 2jk_{0}\nu {\frac {\partial A_{k}(x,y)}{\partial y}}$

Чтобы вычислить поле во всех точках пространства за все время, нам достаточно вычислить функцию $A(x,y)$ для всего пространства, и тогда мы сможем восстановить $\psi (x,y)$. Поскольку решениеотносится к гармоническому по времени уравнению Гельмгольца, нам нужно вычислить его только за один период времени. Мы можем визуализируйте поля вдоль направления распространения или моды поперечного сечения волновода.

Численные методы

как методы пространственной области , так и методы частотной (спектральной) области Для численного решения дискретизированного основного уравнения доступны . После дискретизации в сетку (с использованием различных централизованных разностей , метода Кранка-Николсона , FFT-BPM и т. д.) и причинно-следственной перестановки значений поля эволюция поля вычисляется путем итерации вдоль направления распространения. Метод пространственной области вычисляет поле на следующем шаге (в направлении распространения) путем решения линейного уравнения, тогда как методы спектральной области используют мощные алгоритмы прямого/обратного ДПФ . Преимущество методов спектральной области заключается в стабильности даже при наличии нелинейности (из-за показателя преломления или свойств среды), в то время как методы пространственной области могут стать численно нестабильными.

Приложения

BPM — это быстрый и простой метод расчета полей в интегрированных оптических устройствах. Обычно он используется только для определения интенсивности и мод внутри фигурных (изогнутых, конических, оконечных) волноводных структур, а не для задач рассеяния. Эти структуры обычно состоят из изотропных оптических материалов, но BPM также был расширен и теперь может применяться для моделирования распространения света в обычных анизотропных материалах, таких как жидкие кристаллы . Это позволяет анализировать , например, вращение поляризации света в анизотропных материалах, возможность настройки направленного ответвителя на основе жидких кристаллов или дифракцию света в пикселях ЖК-дисплея.

Ограничения BPM

Метод распространения луча основан на приближении медленно меняющейся огибающей и неточен для моделирования дискретно или быстро меняющихся структур. Базовые реализации также неточны для моделирования структур, в которых свет распространяется в большом диапазоне углов, и для устройств с высоким контрастом показателя преломления, обычно встречающихся, например, в кремниевой фотонике . Однако передовые реализации смягчают некоторые из этих ограничений, позволяя использовать BPM для точного моделирования многих из этих случаев, включая многие кремниевые фотонные структуры.

Метод BPM можно использовать для моделирования двунаправленного распространения, но отражения необходимо реализовывать итеративно, что может привести к проблемам сходимости.

См. также

• Вычислительная электромагнетика
• Метод конечных разностей во временной области
• Расширение по собственной моде
• Метод конечных элементов
• Уравнения Максвелла
• Метод линий
• Свет
• Фотон