Метод конечных разностей в частотной области

Метод конечных разностей в частотной области (FDFD) — это метод численного решения задач обычно в области электромагнетизма , а иногда и в акустике , основанный на конечно-разностных аппроксимациях производных операторов в дифференциальном уравнении . решаемом ^[1]

Хотя «FDFD» — это общий термин, описывающий все методы конечных разностей в частотной области, название, похоже, в основном описывает метод применительно к задачам рассеяния. Этот метод имеет много общего с методом конечных разностей во временной области (FDTD), настолько, что литературу по FDTD можно применять напрямую. Метод работает путем преобразования уравнений Максвелла (или другого уравнения в частных производных) для источников и полей с постоянной частотой в матричную форму. $Ax=b$ . Матрица A получается из оператора волнового уравнения, вектор-столбец x содержит компоненты поля, а вектор-столбец b описывает источник. Метод способен включать анизотропные материалы, но недиагональные компоненты тензора требуют специального подхода.

Строго говоря, в электромагнетизме существует как минимум две категории проблем «частотной области». ^[2] Один из них заключается в нахождении отклика на плотность тока J с постоянной частотой ω, т. е. в виде $\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{i\omega t}$ , или аналогичный источник гармоник времени. Эта проблема с откликом в частотной области приводит к $Ax=b$ систему линейных уравнений, описанную выше. Раннее описание метода FDTD в частотной области для решения проблем рассеяния было опубликовано Кристом и Хартнагелем (1987). ^[3] Другой способ — найти нормальные моды конструкции (например, волновода) в отсутствие источников: в этом случае частота ω сама является переменной, и получается собственная задача $Ax=\lambda x$ (обычно собственное значение λ есть ω ²). Раннее описание метода FDTD для решения собственных электромагнитных задач было опубликовано Альбани и Бернарди (1974). ^[4]

Реализация метода

Используйте сетку Йи, потому что она предлагает следующие преимущества: (1) она неявно удовлетворяет условиям нулевой расходимости, чтобы избежать ложных решений, (2) она естественным образом обрабатывает физические граничные условия и (3) она обеспечивает очень элегантный и компактный способ аппроксимации уравнения ротора с конечными разностями.
Большая часть литературы по методам конечной разности во временной области (FDTD) применима к FDFD, особенно темы о том, как представлять материалы и устройства в сетке Йи.

Сравнение с FDTD и FEM

Метод FDFD очень похож на метод конечных элементов (МКЭ), хотя есть некоторые существенные различия. В отличие от метода FDTD, здесь нет временных шагов, которые необходимо вычислять последовательно, что упрощает реализацию FDFD. Это также может привести к мысли, что FDFD менее затратен в вычислительном отношении; однако это не обязательно так. Метод FDFD требует решения разреженной линейной системы, которая даже для простых задач может состоять из 20 000 на 20 000 элементов или больше и иметь более миллиона неизвестных. В этом отношении метод FDFD аналогичен методу FEM, который является методом конечных дифференциальных уравнений и также обычно реализуется в частотной области. Существуют эффективные численные решатели, позволяющие избежать инверсии матрицы — чрезвычайно затратного в вычислительном отношении процесса. Кроме того, для уменьшения размера проблемы можно использовать методы уменьшения порядка модели.

FDFD и FDTD, если уж на то пошло, плохо подходят для сложной геометрии или многомасштабных структур, поскольку сетка Йи ограничена в основном прямоугольными структурами. Этого можно обойти, либо используя очень мелкую сетку (что увеличивает вычислительные затраты), либо аппроксимируя эффекты поверхностными граничными условиями. Неравномерная сетка может привести к появлению побочных зарядов на границе раздела, поскольку условия нулевой расходимости не соблюдаются, когда сетка неоднородна вдоль границы раздела. Чтобы обойти эту проблему, можно поддерживать непрерывность полей E и H, обеспечивая слабую непрерывность интерфейса с помощью базисных функций, как это делается в FEM. Граничные условия идеально согласованного слоя (PML) также можно использовать для усечения сетки и предотвращения объединения пустого пространства.

Эквивалентная схема элемента токовой проводимости

Уравнения FDFD можно перестроить таким образом, чтобы описывать эквивалентную схему второго порядка, где узловые напряжения представляют компоненты поля E, а токи ветвей представляют компоненты поля H. Это представление эквивалентной схемы может быть чрезвычайно полезным, поскольку методы теории цепей могут использоваться для анализа или упрощения проблемы, а также могут использоваться в качестве инструмента для трехмерного электромагнитного моделирования. Эта модель эквивалентной схемы элемента токовой проводимости (SEEC) имеет преимущества, заключающиеся в уменьшении количества неизвестных, необходимости решать только компоненты E-поля, а также можно использовать методы уменьшения порядка модели второго порядка.

Приложения

Метод FDFD использовался для полноволнового моделирования межсоединений для различных приложений в электронной упаковке. FDFD также использовался для решения различных задач рассеяния на оптических частотах.

См. также

Ссылки

^ Раймонд К. Румпф (2022). Артех Хаус (ред.). Электромагнитное и фотонное моделирование для начинающих: частотная область с конечной разностью в MATLAB .
^ Дж. Д. Джоаннопулос; С.Г. Джонсон; Дж. Н. Винн; Р. Д. Мид (2008). Принстонский университет. Пресс (ред.). Фотонные кристаллы: формирование потока света, 2-е издание . стр. 688–696.
^ Андреас Крист; Ганс Л. Хартнагель (1987). «Трехмерный метод конечных разностей для анализа встраивания микроволновых устройств». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 35 (8): 688–696. Бибкод : 1987ITMTT..35..688C . дои : 10.1109/TMTT.1987.1133733 .
^ М. Альбани; П. Бернарди (1974). «Численный метод, основанный на дискретизации уравнений Максвелла в интегральной форме». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 22 (4): 446–450. Бибкод : 1974ITMTT..22..446A . дои : 10.1109/TMTT.1974.1128246 .

[Rumpf24-1] Раймонд К. Румпф (2022). Артех Хаус (ред.). Электромагнитное и фотонное моделирование для начинающих: частотная область с конечной разностью в MATLAB .

[Joannopoulos08-2] Дж. Д. Джоаннопулос; С.Г. Джонсон; Дж. Н. Винн; Р. Д. Мид (2008). Принстонский университет. Пресс (ред.). Фотонные кристаллы: формирование потока света, 2-е издание . стр. 688–696.

[Christ87-3] Андреас Крист; Ганс Л. Хартнагель (1987). «Трехмерный метод конечных разностей для анализа встраивания микроволновых устройств». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 35 (8): 688–696. Бибкод : 1987ITMTT..35..688C . дои : 10.1109/TMTT.1987.1133733 .

[Albani1974-4] М. Альбани; П. Бернарди (1974). «Численный метод, основанный на дискретизации уравнений Максвелла в интегральной форме». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 22 (4): 446–450. Бибкод : 1974ITMTT..22..446A . дои : 10.1109/TMTT.1974.1128246 .

[1]

[2]

[3]

[4]