Многополюсное расширение

Мультипольное разложение — это математический ряд, представляющий функцию , зависящую от углов — обычно двух углов, используемых в сферической системе координат (полярный и азимутальный углы) для трехмерного евклидова пространства . $\mathbb {R} ^{3}$. Как и в случае с рядом Тейлора , мультипольные разложения полезны, поскольку зачастую для обеспечения хорошего приближения исходной функции необходимы только первые несколько членов. Расширяемая функция может быть вещественной или комплексной и определяется либо на $\mathbb {R} ^{3}$или реже на $\mathbb {R} ^{n}$ для какого-то другого $n$.

Мультипольные разложения часто используются при изучении электромагнитных и гравитационных полей , где поля в удаленных точках задаются как источники в небольшой области. Разложение мультиполя по углам часто сочетается с разложением по радиусу . Такая комбинация дает расширение, описывающее функцию во всем трехмерном пространстве.

Мультипольное разложение выражается как сумма членов со все более мелкими угловыми характеристиками ( моментами ). Первый член (нулевого порядка) называется монопольным моментом, второй член (первого порядка) называется дипольным моментом, третий (второго порядка) — квадрупольным моментом, четвертый член (третьего порядка) называется октупольным моментом и так далее. Учитывая ограничение греческих цифровых префиксов , термины более высокого порядка обычно называются путем добавления «-полюса» к числу полюсов, например, 32-полюсный (редко дотриаконтапол или триаконтадиполь) и 64-полюсный (редко тетрагексаконтапол или гексаконтатетраполь). Мультипольный момент обычно включает в себя степени (или обратные степени) расстояния до начала координат, а также некоторую угловую зависимость.

В принципе, мультипольное разложение дает точное описание потенциала и обычно сходится при двух условиях: (1) если источники (например, заряды) локализованы близко к началу координат, а точка, в которой наблюдается потенциал, находится далеко от начала координат. источник; или (2) обратное, т. е. если источники расположены далеко от начала координат, а потенциал наблюдается вблизи начала координат. В первом (более распространенном) случае коэффициенты разложения в ряд называются внешними мультипольными моментами или просто мультипольными моментами , тогда как во втором случае они называются внутренними мультипольными моментами .

Разложение по сферическим гармоникам

Чаще всего ряд записывается как сумма сферических гармоник . Таким образом, мы могли бы написать функцию $f(\theta ,\varphi )$ как сумма $$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$$где $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ – стандартные сферические гармоники, а $C_{\ell }^{m}$ — постоянные коэффициенты, зависящие от функции. Термин $C_{0}^{0}$ представляет собой монополь; $C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}$ представляют диполь; и так далее. Аналогично, сериал также часто пишется как $$f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots$$где $n^{i}$ представляют компоненты единичного вектора в направлении, заданном углами $\theta$ и $\varphi$, а индексы суммируются неявно . Здесь термин $C$ – монополь; $C_{i}$ представляет собой набор из трех чисел, представляющих диполь; и так далее.

В приведенных выше разложениях коэффициенты могут быть действительными или комплексными . Однако если функция, выражаемая в виде мультипольного разложения, действительна, коэффициенты должны удовлетворять определенным свойствам. В сферическом гармоническом разложении мы должны иметь $$C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.$$В многовекторном разложении каждый коэффициент должен быть вещественным: $$C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots$$

Хотя разложение скалярных функций на сегодняшний день является наиболее распространенным применением мультипольных разложений, их также можно обобщить для описания тензоров произвольного ранга. Это находит применение в мультипольных разложениях векторного потенциала в электромагнетизме или метрических возмущениях при описании гравитационных волн .

Для описания трехмерных функций вдали от начала координат коэффициенты мультипольного разложения можно записать как функции расстояния до начала координат: $r$— чаще всего в виде ряда Лорана по степеням $r$. Например, для описания электромагнитного потенциала, $V$, от источника в небольшой области вблизи начала координат, коэффициенты можно записать как: $$V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

Приложения

Мультипольные разложения широко используются в задачах, связанных с гравитационными полями систем масс , электрическими и магнитными полями распределения заряда и тока, а также распространением электромагнитных волн . Классическим примером является расчет внешних мультипольных моментов атомных ядер по энергиям их взаимодействия с внутренними мультиполями электронных орбиталей. Мультипольные моменты ядер сообщают о распределении зарядов внутри ядра и, следовательно, о форме ядра. Усечение мультипольного разложения до первого ненулевого члена часто бывает полезно для теоретических расчетов.

полезны при численном моделировании и составляют основу метода быстрых мультиполей Грингарда Мультипольные разложения также и Рохлина , общего метода эффективного расчета энергий и сил в системах взаимодействующих частиц . Основная идея состоит в том, чтобы разложить частицы на группы; частицы внутри группы взаимодействуют нормально (т. е. по полному потенциалу), тогда как энергии и силы между группами частиц рассчитываются по их мультипольным моментам. Эффективность метода быстрых мультиполей в целом аналогична эффективности метода суммирования Эвальда , но она выше, если частицы сгруппированы, т. е. система имеет большие флуктуации плотности.

Мультипольное разложение потенциала вне распределения электростатического заряда

Рассмотрим дискретное распределение зарядов, состоящее из N точечных зарядов q _i с векторами положения r _i . Мы предполагаем, что заряды сгруппированы вокруг начала координат, так что для всех i : r _i < r _max , где r _max имеет некоторое конечное значение. Потенциал V ( R ) , обусловленный распределением заряда, в точке R вне распределения заряда, т. е. | р | > r _max , можно разложить по степеням 1/ R . В литературе можно найти два способа такого разложения: первый — это ряд Тейлора в декартовых координатах x , y и z , а второй — в терминах сферических гармоник , которые зависят от сферических полярных координат . Преимущество декартового подхода состоит в том, что не требуется никаких предварительных знаний о функциях Лежандра, сферических гармониках и т. д. Его недостатком является то, что выводы довольно громоздки (на самом деле большая их часть представляет собой неявный повторный вывод разложения Лежандра 1 / | r − R | , которое было сделано раз и навсегда Лежандром в 1780-х годах). Также трудно дать замкнутое выражение для общего члена мультипольного разложения - обычно даются только первые несколько членов, после которых ставится многоточие.

Разложение в декартовых координатах

Для удобства предположим v ( r ) = v (− r ) . Разложение Тейлора v = ( r − R ) вокруг начала координат r можно 0 записать как $$v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots$$с коэффициентами Тейлора $$v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.$$Если v ( r − R ) удовлетворяет уравнению Лапласа , то согласно приведенному выше разложению мы имеем $$\left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,$$и разложение можно переписать через компоненты бесследового декартова тензора второго ранга : $$\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),$$где δ _αβ — дельта Кронекера и r ² ≡ | р | ² . Удаление следа является обычным явлением, поскольку для этого требуется инвариант вращения r ² из тензора второго ранга.

Пример

Рассмотрим теперь следующую форму v ( r − R ) : $$v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.$$Тогда прямым дифференцированием следует, что $$v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.$$Определим монополь, диполь и (бесследный) квадруполь соответственно формулой $$q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),$$и мы получаем, наконец, несколько первых членов мультипольного разложения полного потенциала, который представляет собой сумму кулоновских потенциалов отдельных зарядов: $${\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}$$

Это расширение потенциала дискретного распределения заряда очень похоже на расширение потенциала реальных твердых гармоник, приведенное ниже. Основное отличие состоит в том, что нынешний представляет собой линейно зависимые величины, т.е. $$\sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.$$

Примечание: Если распределение заряда состоит из двух зарядов противоположного знака, находящихся на бесконечно малом расстоянии d друг от друга, так что d / R ≫ ( d / R ) ² , легко показать, что доминирующим членом разложения является $$V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),$$электрическое диполярное потенциальное поле .

Сферическая форма

Потенциал V ( R ) в точке R вне распределения заряда, т.е. | р | > r _max , можно расширить с помощью расширения Лапласа : $$V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),$$где $I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )$ представляет собой нерегулярную сплошную гармонику (определяемую ниже как сферическую гармоническую функцию, разделенную на $R^{\ell +1}$) и $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$ — регулярная твердая гармоника (сферическая гармоника, умноженная на r ^ℓ ). Определим сферический мультипольный момент распределения заряда следующим образом: $$Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .$$Обратите внимание, что мультипольный момент определяется исключительно распределением заряда (положением и величиной N зарядов).

Сферическая гармоника зависит от единичного вектора ${\hat {R}}$. (Единичный вектор определяется двумя сферическими полярными углами.) Таким образом, по определению нерегулярные твердые гармоники можно записать как $$I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}$$так что мультипольное разложение поля V ( R ) в точке R вне распределения заряда определяется выражением

$${\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}$$

Это расширение является совершенно общим, поскольку оно дает замкнутую форму для всех терминов, а не только для нескольких первых. Это показывает, что сферические мультипольные моменты появляются как коэффициенты в 1/ R разложении потенциала .

Представляет интерес рассмотреть первые несколько терминов в реальной форме, которые являются единственными терминами, обычно встречающимися в учебниках для студентов.Поскольку слагаемое суммирования m инвариантно относительно унитарного преобразования обоих факторов одновременно и поскольку преобразование комплексных сферических гармоник в действительную форму происходит посредством унитарного преобразования , мы можем просто заменить действительные иррегулярные твердые гармоники и действительные мультипольные моменты. Член ℓ = 0 становится $$V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.$$Фактически это снова закон Кулона . Для члена ℓ = 1 введем $$\mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.$$Затем $$V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.$$Этот термин идентичен тому, который встречается в декартовой форме.

Чтобы записать член ℓ = 2 , нам нужно ввести сокращенные обозначения для пяти действительных компонент квадрупольного момента и действительных сферических гармоник. Обозначения типа $$Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),$$можно найти в литературе. Очевидно, что настоящие обозначения очень скоро становятся неудобными, демонстрируя полезность сложных обозначений.

Взаимодействие двух непересекающихся распределений заряда

Рассмотрим два набора точечных зарядов: один набор { q _i } сгруппирован вокруг точки A а другой набор { q _j } сгруппирован вокруг точки B. , Подумайте, например, о двух молекулах и вспомните, что молекула по определению состоит из электронов (отрицательных точечных зарядов) и ядер (положительных точечных зарядов). Полная энергия электростатического взаимодействия U _AB между двумя распределениями равна $$U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.$$ разложить в степенной ряд на обратное расстояние между A и B. Эту энергию можно расширение известно как расширение UAB мультипольное _Это .

Чтобы получить это мультипольное разложение, мы пишем r _XY = r _Y − r _X , который представляет собой вектор, указывающий X к Y. от Обратите внимание, что $$\mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.$$Мы предполагаем, что два распределения не перекрываются: $$|\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.$$При этом условии мы можем применить разложение Лапласа в следующем виде $${\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),$$где $I_{L}^{M}$ и $R_{L}^{M}$ — нерегулярные и регулярные сплошные гармоники соответственно. Перевод регулярной твердой гармоники дает конечное разложение: $$R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,$$где величина в заостренных скобках представляет собой коэффициент Клебша–Гордана . Далее мы использовали $$R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).$$Использование определения сферических мультиполей Q ^м
_ℓ и покрытие диапазонов суммирования в несколько ином порядке (что допускается только для бесконечного диапазона L ) дает наконец

$${\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}$$

Это мультипольное разложение энергии взаимодействия двух непересекающихся распределений зарядов, находящихся на расстоянии R _AB друг от друга. С $$I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},$$это разложение явно имеет место в степенях 1/ RA _AB . Функция Y ^м _l — нормированная сферическая гармоника .

Молекулярные моменты

Все атомы и молекулы (кроме атомов в S -состоянии ) имеют один или несколько ненулевых постоянных мультипольных момента. В литературе можно встретить разные определения, но следующее определение в сферической форме имеет то преимущество, что содержится в одном общем уравнении. Поскольку он имеет сложную форму, он имеет еще одно преимущество: им легче манипулировать в расчетах, чем его реальным аналогом.

Рассмотрим молекулу, состоящую из N частиц (электронов и ядер) с зарядами eZ _i . (У электронов Z -значение равно -1, а у ядер это атомный номер ). Частица i имеет сферические полярные координаты r _i , θ _i и φ _i и декартовы координаты x _i , y _i и z _i .(Комплексный) электростатический мультипольный оператор: $$Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),$$где $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})$ — регулярная сплошная гармоническая функция в нормализации Рака (также известной как полунормализация Шмидта).Если молекула имеет полную нормированную волновую функцию Ψ (зависящую от координат электронов и ядер), то мультипольный момент порядка $\ell$ молекулы определяется ожидаемым (ожидаемым) значением : $$M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .$$Если молекула обладает определенной симметрией точечной группы , то это отражается на волновой функции: Ψ преобразуется по некоторому неприводимому представлению λ группы ( «Ψ имеет тип симметрии λ»). Это приводит к тому, что правила отбора справедливы для среднего значения мультипольного оператора или, другими словами, математическое ожидание может исчезнуть из-за симметрии. Хорошо известным примером этого является тот факт, что молекулы с центром инверсии не несут диполя (математическое ожидание $Q_{1}^{m}$ исчезают при m = −1, 0, 1) . Для молекулы без симметрии никакие правила отбора не действуют и такая молекула будет иметь ненулевые мультиполи любого порядка (она будет нести диполь и одновременно квадруполь, октуполь, гексадекаполь и т. д.).

Низшие явные формы регулярных твердых гармоник (с фазой Кондона-Шортли ) дают: $$M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},$$(полный заряд молекулы). (Комплексные) дипольные компоненты: $$M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .$$$$M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .$$

Заметим, что с помощью простой линейной комбинации можно преобразовать комплексные мультипольные операторы в вещественные. Настоящие мультипольные операторы имеют косинусный тип. $C_{\ell }^{m}$ или синусоидальный тип $S_{\ell }^{m}$. Некоторые из самых низких: $${\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}\\S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i}\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i}\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(x_{i}^{2}-y_{i}^{2})\\S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i}\\S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i}\end{aligned}}$$

Примечание об условных обозначениях

Определение комплексного молекулярного мультипольного момента, данное выше, является комплексно-сопряженным определением, данным в этой статье , которое следует определению из стандартного учебника по классической электродинамике : Джексона кроме нормализации. Более того, в классическом определении Джексона эквивалентом N - частичного квантовомеханического ожидания является интеграл по одночастичному распределению заряда. Помните, что в случае одночастичной квантово-механической системы математическое ожидание представляет собой не что иное, как интеграл по распределению заряда (квадрат модуля волновой функции), так что определение этой статьи представляет собой квантовомеханическое N -частичное обобщение определения Джексона. .

Определение в этой статье согласуется, среди прочего, с определением Фано и Рака. и Бринк и Сэтчлер.

Примеры

Существует много типов мультипольных моментов, поскольку существует много типов потенциалов и много способов аппроксимации потенциала разложением в ряд в зависимости от координат и симметрии распределения заряда. Наиболее распространенные расширения включают в себя:

• Осевые мультипольные моменты потенциала 1/ R ;
• Сферические мультипольные моменты потенциала 1/ R ; и
• Цилиндрические мультипольные потенциала ln R моменты

Примеры 1/ R -потенциалов включают электрический потенциал , магнитный потенциал и гравитационный потенциал точечных источников. Примером потенциала ln R является электрический потенциал бесконечного линейного заряда.

Общие математические свойства

Мультипольные моменты в математике и математической физике образуют ортогональную основу разложения функции, основанную на реакции поля на точечные источники, поднесенные бесконечно близко друг к другу. Их можно рассматривать как расположенные в различных геометрических формах или, в смысле теории распределения , как производные по направлению .

Мультипольные расширения связаны с основополагающей вращательной симметрией физических законов и связанных с ними дифференциальных уравнений . Несмотря на то, что исходные термины (такие как массы, заряды или токи) могут быть несимметричными, их можно расширить с точки зрения неприводимых представлений группы вращательной симметрии , что приводит к сферическим гармоникам и связанным с ними наборам ортогональных функций. используется техника разделения переменных Для получения соответствующих решений радиальных зависимостей .

На практике многие поля можно хорошо аппроксимировать конечным числом мультипольных моментов (хотя для точного восстановления поля может потребоваться бесконечное их число). Типичным применением является аппроксимация поля локализованного распределения заряда его монопольными и дипольными членами. Проблемы, решенные один раз для заданного порядка мультипольного момента, могут быть линейно объединены для создания окончательного приближенного решения для данного источника.

См. также

• Моделирование Барнса – Хата
• Быстрый мультипольный метод
• Расширение Лапласа
• Полиномы Лежандра
• Квадрупольные магниты используются в ускорителях частиц.
• Сплошные гармоники
• Тороидальный момент
• Динамический тороидальный диполь