Скалярная теория поля

В теоретической физике скалярная теория поля может относиться к релятивистски-инвариантной классической или квантовой теории скалярных полей . Скалярное поле инвариантно относительно любого преобразования Лоренца .

Единственное фундаментальное скалярное квантовое поле, наблюдавшееся в природе, — это поле Хиггса . Однако скалярные квантовые поля используются в эффективной теории поля для описания многих физических явлений. Примером может служить пион , который на самом деле является псевдоскаляром .

Поскольку скалярные поля не связаны с поляризационными сложностями, зачастую легче всего оценить вторичное квантование . По этой причине скалярные теории поля часто используются для введения новых концепций и методов.

Сигнатура метрики используемой ниже : (+, −, −, −) .

Классическая скалярная теория поля

Дополнительная информация: Лагранжиан (теория поля).

Общая ссылка для этого раздела: Рамон, Пьер (21 декабря 2001 г.). Теория поля: современный учебник для начинающих (второе издание). США: Вествью Пресс. ISBN   0-201-30450-3 , глава 1.

Линейная (свободная) теория

Самой базовой скалярной теорией поля является линейная теория. Посредством Фурье разложения полей он представляет нормальные моды бесконечного числа связанных осцилляторов , где непрерывный предел индекса осциллятора i теперь обозначается x . Тогда действие : свободной релятивистской скалярной теории поля будет следующим

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}$

где ${\mathcal {L}}$ известна как плотность Лагранжа ; д ⁴⁻¹ Икс ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx ¹ ⋅ дх ² ⋅ дх ³ для трех пространственных координат; δ ^ij – дельта -функция Кронекера; и ∂ _ρ = ∂ / ∂x ^р для ρ -й координаты x ^р .

Это пример квадратичного действия, поскольку каждый из членов квадратичен в поле φ . Член, пропорциональный m ² иногда называют массовым термином из-за его последующей интерпретации в квантовой версии этой теории в терминах массы частицы.

Уравнение движения для этой теории получается экстремизацией вышеописанного действия. Оно принимает следующий вид, линейный по φ :

$\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,$

где ∇ ² — оператор Лапласа . Это уравнение Клейна-Гордона , интерпретируемое как классическое уравнение поля, а не как квантово-механическое волновое уравнение.

Нелинейная (взаимодействующая) теория

Наиболее распространенным обобщением приведенной выше линейной теории является добавление скалярного потенциала $V(\phi )$ к лагранжиану , где обычно в дополнение к массовому члену $m^{2}\phi ^{2}/2$, потенциал $V$ имеет полиномы более высокого порядка по $\phi$. Иногда говорят, что такая теория взаимодействует, потому что уравнение Эйлера-Лагранжа теперь является нелинейным, что подразумевает самодействие . Действие для наиболее общей такой теории есть

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}$

The $n!$ Факторы в разложении вводятся потому, что они полезны при Фейнмана разложении квантовой теории по диаграммам , как описано ниже.

Соответствующее уравнение движения Эйлера – Лагранжа теперь имеет вид

$\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.$

Размерный анализ и масштабирование

Основная статья: Естественные единицы § «Естественные единицы» (физика элементарных частиц и космология)

Физические величины в этих скалярных теориях поля могут иметь измерения длины, времени или массы или некоторую комбинацию этих трех.

Однако в релятивистской теории любую величину t времени можно легко преобразовать в длину , l = ct используя скорость света c с размерностями . Аналогично, любая длина l эквивалентна обратной массе ħ = lmc , используя Планка постоянную ħ . В натуральных единицах время рассматривается как длина, или время или длина — как обратная масса.

Короче говоря, можно думать о размерах любой физической величины, определяемых с точки зрения только одного независимого измерения, а не всех трех. Чаще всего это называют массовой размерностью величины. Знание размеров каждой величины позволяет однозначно восстановить обычные размеры из выражения натуральных единиц в терминах этого массового измерения, просто повторно вставив необходимые степени ħ и c, необходимые для размерной согласованности.

Одно из возможных возражений состоит в том, что эта теория является классической, и поэтому не очевидно, как постоянная Планка вообще может быть частью теории. При желании можно было бы действительно переделать теорию вообще без массовых измерений: однако это было бы за счет некоторого затемнения связи с квантовым скалярным полем. Учитывая, что у человека есть размеры массы, постоянная Планка здесь рассматривается как по существу произвольная фиксированная эталонная величина действия (не обязательно связанная с квантованием), следовательно, с размерами, подходящими для преобразования между массой и обратной длиной .

Масштабирование размера

Классическая масштабирующая размерность или массовая размерность Δ φ : описывает трансформацию поля при изменении масштаба координат

$x\rightarrow \lambda x$

$\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.$

Единицы действия такие же, как единицы ħ , поэтому само действие имеет нулевую массовую размерность. Это фиксирует масштабную размерность поля φ как

$\Delta ={\frac {D-2}{2}}.$

Масштабная инвариантность

В определенном смысле некоторые теории скалярного поля масштабно-инвариантны . Хотя все действия, описанные выше, созданы так, чтобы иметь нулевую массовую размерность, не все действия инвариантны относительно масштабного преобразования.

$x\rightarrow \lambda x$

$\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.$

Причина того, что не все действия инвариантны, заключается в том, что обычно думают о параметрах m и g _n как о фиксированных величинах, которые не масштабируются при приведенном выше преобразовании. Тогда условие масштабной инвариантности скалярной теории поля совершенно очевидно: все параметры, входящие в действие, должны быть безразмерными величинами. Другими словами, масштабно-инвариантная теория — это теория, в которой нет фиксированного масштаба длины (или, что то же самое, масштаба массы).

Для скалярной теории поля с D измерениями пространства-времени единственный безразмерный параметр g _n удовлетворяет условию n = 2 D ⁄ ( D - 2) . Например, в D = 4 только g ₄ является классически безразмерной, и поэтому единственной классически масштабно-инвариантной скалярной теорией поля в D = 4 является безмассовая φ ⁴ теория .

Однако классическая масштабная инвариантность обычно не подразумевает квантовую масштабную инвариантность из-за задействованной ренормгруппы - см. обсуждение бета-функции ниже.

Конформная инвариантность

Преобразование

$x\rightarrow {\tilde {x}}(x)$

называется конформным, если преобразование удовлетворяет условию

${\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }$

для некоторой функции λ ( x ) .

Конформная группа содержит в качестве подгрупп изометрии метрики $\eta _{\mu \nu }$ ( группа Пуанкаре ), а также масштабные преобразования (или дилатации ), рассмотренные выше. Фактически, масштабно-инвариантные теории из предыдущего раздела также являются конформно-инвариантными.

ж ⁴ теория

См. Также: Кварцевое взаимодействие.

Массивный φ ⁴ Теория иллюстрирует ряд интересных явлений скалярной теории поля.

Лагранжева плотность равна

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.$

Спонтанное нарушение симметрии

Смотрите также: Квартическое взаимодействие § Спонтанное нарушение симметрии

Этот лагранжиан имеет $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия относительно преобразования φ → − φ .Это пример внутренней симметрии , в отличие от симметрии пространства-времени .

Если м ² положителен, потенциал

$V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}$

имеет единственный минимум в начале координат. Решение φ =0, очевидно, инвариантно относительно $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия.

И наоборот, если м ² отрицательна, то легко видеть, что потенциал

$\,V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}\!$

имеет два минимума. Это известно как потенциал двойной ямы , и состояния с наименьшей энергией (известные как вакуум на языке квантовой теории поля) в такой теории не инвариантны относительно $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия действия (фактически оно отображает каждый из двух вакуумов в другой). В этом случае $\mathbb {Z} _{2}$ Говорят, что симметрия спонтанно нарушается .

Кинк-решения

φ ​ ⁴ теория с отрицательным м ² также имеет кинковое решение, которое является каноническим примером солитона . Такое решение имеет вид

$\phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]$

где x — одна из пространственных переменных ( φ считается независимой от t и остальных пространственных переменных). Решение интерполируется между двумя разными вакуумами потенциала двойной ямы. Невозможно деформировать кинк в постоянное решение, не проходя через решение с бесконечной энергией, и по этой причине кинк называется устойчивым. Для D > 2 (т. е. теорий с более чем одним пространственным измерением) это решение называется доменной стенкой .

Другим хорошо известным примером скалярной теории поля с кинковыми решениями является теория синус-Гордона .

Комплексная скалярная теория поля

В комплексной теории скалярного поля скалярное поле принимает значения в виде комплексных, а не действительных чисел. Комплексное скалярное поле представляет частицы со спином 0 и античастицы с зарядом. Рассматриваемое действие обычно принимает форму

${\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]$

Он имеет симметрию U(1) , что эквивалентно O(2), действие которой на пространство полей вращает $\phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi$, для некоторого реального фазового угла α .

Что касается реального скалярного поля, то спонтанное нарушение симметрии обнаруживается, если m ² является отрицательным. Голдстоуна Это приводит к появлению потенциала мексиканской шляпы , который представляет собой вращение двухямного потенциала реального скалярного поля на 2π радиан вокруг V. $(\phi )$ ось. Нарушение симметрии происходит в одном более высоком измерении, т.е. выбор вакуума нарушает непрерывную U (1)-симметрию вместо дискретной. Два компонента скалярного поля переконфигурируются как массивная мода и безмассовый бозон Голдстоуна .

О ( N ) теория

Основная статья: сигма-модель

Комплексную скалярную теорию поля можно выразить через два действительных поля: φ ¹ = Re φ и φ ² = Im φ , которые преобразуются в векторное представление внутренней симметрии U (1) = O (2). Хотя такие поля преобразуются как вектор под действием внутренней симметрии , они по-прежнему являются скалярами Лоренца.

Это можно обобщить на теорию N скалярных полей, преобразующихся в векторное представление симметрии O ( N ) . Лагранжиан для O ( N )-инвариантной скалярной теории поля обычно имеет вид

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )$

используя соответствующий O ( N )-инвариантный внутренний продукт . Теорию можно выразить и для комплексных векторных полей, т. е. для $\phi \in \mathbb {C} ^{n}$, и в этом случае группой симметрии является группа Ли SU(N) .

Муфты калибровочного поля

образом соединяется Когда скалярная теория поля калибровочно-инвариантным с действием Янга – Миллса , получается Гинзбурга – Ландау теория сверхпроводников . Топологические солитоны этой теории соответствуют вихрям в сверхпроводнике ; минимум потенциала мексиканской шляпы соответствует параметру порядка сверхпроводника.

Квантовая скалярная теория поля

Основная статья: Каноническое квантование § Действительное скалярное поле

Общая ссылка для этого раздела: Рамон, Пьер (21 декабря 2001 г.). Теория поля: современный учебник для начинающих (второе издание). США: Вествью Пресс. ISBN   0-201-30450-3 , Гл. 4

В квантовой теории поля поля и все наблюдаемые, построенные на их основе, заменяются квантовыми операторами в гильбертовом пространстве . Это гильбертово пространство построено на вакуумном состоянии , а динамика управляется квантовым гамильтонианом , положительно определенным оператором, который аннулирует вакуум. Конструкция квантовой скалярной теории поля подробно описана в статье о каноническом квантовании , которая основана на канонических коммутационных соотношениях между полями. По сути, бесконечность классических осцилляторов, переупакованных в скалярное поле, поскольку его (развязанные) нормальные моды, описанные выше, теперь квантуются стандартным способом, поэтому соответствующее поле квантового оператора описывает бесконечность квантовых гармонических осцилляторов, действующих на соответствующее пространство Фока .

Короче говоря, основными переменными являются квантовое поле φ и его канонический импульс π . Оба эти поля с операторными значениями являются эрмитовыми . В пространственных точках x → , y → и в равные моменты времени их канонические коммутационные соотношения имеют вид

${\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}$

а свободный гамильтониан , как и выше, имеет вид

$H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].$

Пространственное преобразование Фурье приводит к импульсным пространственным полям.

${\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}$

которые разрешают операторы уничтожения и создания

${\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}$

где $E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

${\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}$

Государство $|0\rangle$ аннигилируемая всеми операторами a, идентифицируется как чистый вакуум , а частица с импульсом k → создается применением $a^{\dagger }({\vec {k}})$ в вакуум.

Применение всех возможных комбинаций операторов создания к вакууму создает соответствующее гильбертово пространство : Эта конструкция называется пространством Фока . Вакуум аннулируется гамильтонианом

$H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),$

где энергия нулевой точки была удалена виковским упорядочением . (См. каноническое квантование .)

Взаимодействия можно включить, добавив гамильтониан взаимодействия. Для φ ⁴ теории, это соответствует добавлению упорядоченного по Вику члена g : φ ⁴ :/4! к гамильтониану и интегрированию по x . Амплитуды рассеяния могут быть рассчитаны по этому гамильтониану в картине взаимодействия . Они строятся в теории возмущений с помощью ряда Дайсона , который дает упорядоченные по времени произведения, или n -частичных функций Грина. $\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle$ как описано в статье серии Dyson . Функции Грина также могут быть получены из производящей функции, построенной как решение уравнения Швингера-Дайсона .

Смотрите также: Квантовый гармонический осциллятор § Решетка гармонических осцилляторов: фононы

Интеграл по траектории Фейнмана

Разложение диаграммы Фейнмана может быть получено также из формулировки интеграла по траекториям Фейнмана . вакуумные Упорядоченные по времени средние значения полиномов от φ , известные как n -частичные функции Грина, строятся путем интегрирования по всем возможным полям, нормализованным вакуумным средним значением без внешних полей,

$\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.$

Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты в J ( x )φ( x ) в производящую функцию

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .$

Вращение фитиля можно применить, чтобы сделать время мнимым. Изменение сигнатуры на (++++) затем превращает интеграл Фейнмана в статистическую статистическую функцию в евклидовом пространстве :

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае преобразование Фурье полезно , дающее вместо этого

${\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.$

где $\delta (x)$ – дельта-функция Дирака .

Стандартный прием вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы схематически записать его как произведение экспоненциальных множителей:

${\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].$

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в виде степенных рядов, а комбинаторику этого разложения можно представить графически через диаграммы Фейнмана Квартики взаимодействия .

Интеграл с g = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов: результат можно выразить как сумму диаграмм Фейнмана , рассчитанную с использованием следующих правил Фейнмана:

• Каждое поле ~ φ ( p ) в n -точечной евклидовой функции Грина представлено внешней линией (полуребром) на графике и связано с импульсом p .
• Каждая вершина представлена ​​фактором — g .
• При заданном заказе g ^к , все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами построены так, что импульсы, входящие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена ​​пропагатором 1/( q ² + м ² ), где q — импульс, текущий через эту линию.
• Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перестановки линий и вершин графа без изменения его связности.
• Не включайте графики, содержащие «пузыри вакуума», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на ~ Z [0]. Правила Фейнмана в пространстве Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена ​​-ig , а каждая внутренняя линия представлена ​​пропагатором i /( q ² − м ² + iε ), где член ε представляет собой небольшое вращение Вика, необходимое для сходимости гауссовского интеграла в пространстве Минковского.

Перенормировка

Основные статьи: Бета-функция (физика) и ренормгруппа

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графиках Фейнмана обычно расходятся. Обычно это решается перенормировкой , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, были конечными. При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, от которого зависят константа связи и масса.

Зависимость константы связи g от масштаба λ кодируется бета-функцией β ( g ) , определяемой формулой

$\beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.$

Эта зависимость от масштаба энергии известна как «бег параметра связи», и теория этой систематической зависимости от масштаба в квантовой теории поля описывается ренормгруппой .

Бета-функции обычно вычисляются в рамках аппроксимационной схемы, чаще всего теории возмущений , где предполагается, что константа связи мала. Затем можно разложить параметры связи по степеням и обрезать члены более высокого порядка (также известные как вклады более высоких петель из-за количества петель в соответствующих графах Фейнмана ).

β -функция на одной петле (первый пертурбативный вклад) для φ ⁴ теория

$\beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.$

Тот факт, что знак перед младшим членом положительный, предполагает, что константа связи увеличивается с энергией. Если бы такое поведение сохранялось при больших взаимодействиях, это указывало бы на наличие полюса Ландау при конечной энергии, возникающее из квантовой тривиальности . Однако на этот вопрос можно ответить только непертурбативно, поскольку он предполагает сильную связь.

Квантовая теория поля считается тривиальной , когда перенормированная связь, вычисленная через ее бета-функцию , обращается в ноль при удалении ультрафиолетового обрезания. Следовательно, пропагатор становится свободной частицей, и поле больше не взаимодействует.

Для φ ⁴ взаимодействия Майкл Айзенман доказал, что теория действительно тривиальна для размерности пространства-времени D ≥ 5.

Для D = 4 тривиальность еще предстоит строго доказать, но расчеты на решетке предоставили убедительные доказательства этого. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для определения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса . Это также может привести к предсказуемой массе Хиггса в асимптотических сценариях безопасности .

См. также

• Перенормировка
• Квантовая тривиальность
• Полюс Ландау
• Масштабная инвариантность (описание CFT)
• Скалярная электродинамика

Ссылки

• Пескин, М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. ISBN  978-0201503975 .
• Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей . Том. I. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-55001-7 .
• Вайнберг, С. (1998). Квантовая теория полей . Том. II. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-55002-5 .
• Средницкий, М. (2007). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521864497 .
• Зинн-Джастин, Дж (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198509233 .

Внешние ссылки

• Концептуальные основы квантовой теории поля Щелкните ссылку, чтобы перейти к гл. 3, чтобы найти обширное и упрощенное введение в скаляры в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля.