Масштабирование размера

В теоретической физике масштабирующая размерность или просто размерность локального оператора в квантовой теории поля характеризует свойства масштабирования оператора при расширении пространства-времени. $x\to \lambda x$. Если квантовая теория поля масштабно -инвариантна , масштабные размерности операторов представляют собой фиксированные числа, в противном случае они являются функциями масштаба расстояний.

Масштабно-инвариантная квантовая теория поля

В масштабно-инвариантной квантовой теории поля по определению каждый оператор $O$ приобретается при расширении $x\to \lambda x$ фактор $\lambda ^{-\Delta }$, где $\Delta$ число, называемое масштабной размерностью $O$. Это означает, в частности, что двухточечная корреляционная функция $\langle O(x)O(0)\rangle$ зависит от расстояния, так как $(x^{2})^{-\Delta }$. В более общем смысле, корреляционные функции нескольких локальных операторов должны зависеть от расстояний таким образом, чтобы $\langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle$

Большинство масштабно-инвариантных теорий также являются конформно-инвариантными , что накладывает дополнительные ограничения на корреляционные функции локальных операторов.

Теории свободного поля

Свободные теории — это простейшие масштабно-инвариантные квантовые теории поля. В свободных теориях различают элементарные операторы, которые представляют собой поля, входящие в лагранжиан : и составные операторы, являющиеся произведениями элементарных. Масштабирующая размерность элементарного оператора $O$ определяется анализом размерностей на основе лагранжиана (в четырех измерениях пространства-времени оно равно 1 для элементарных бозонных полей, включая векторные потенциалы, 3/2 для элементарных фермионных полей и т. д.). Это масштабируемое измерение называется классическим измерением термины каноническое измерение и инженерное измерение ( также используются ). Составной оператор, полученный произведением двух операторов размерностей $\Delta _{1}$ и $\Delta _{2}$ — новый оператор, размерность которого равна сумме $\Delta _{1}+\Delta _{2}$.

Когда взаимодействия включены, масштабируемое измерение получает поправку, называемую аномальным измерением (см. ниже).

Взаимодействующие теории поля

Существует множество масштабно-инвариантных квантовых теорий поля, которые не являются свободными теориями; это называется взаимодействием. Масштабные размерности операторов в таких теориях нельзя вычитать из лагранжиана ; они также не обязательно (полу)целые. Например, в масштабной (и конформной) теории инвариантов, описывающей критические точки двумерной модели Изинга, существует оператор $\sigma$ размерность которого равна 1/8.

Умножение операторов во взаимодействующих теориях является более тонким делом по сравнению со свободными теориями. Расширение операторского продукта двух операторов с размерами $\Delta _{1}$ и $\Delta _{2}$ вообще говоря, даст не единственный оператор, а бесконечное множество операторов, и их размерность вообще не будет равна $\Delta _{1}+\Delta _{2}$. В приведенном выше примере двумерной модели Изинга операторное произведение $\sigma \times \sigma$ дает оператор $\epsilon$ размерность которого равна 1, а не вдвое больше размерности $\sigma$.

Немасштабно-инвариантная квантовая теория поля

Существует множество квантовых теорий поля, которые, хотя и не являются точно масштабно-инвариантными, остаются приблизительно масштабно-инвариантными в большом диапазоне расстояний. Такие квантовые теории поля можно получить, добавляя к теориям свободного поля члены взаимодействия с малыми безразмерными связями . Например, в четырех измерениях пространства-времени можно добавить скалярные связи четвертой степени, связи Юкавы или калибровочные связи. Масштабные размерности операторов в таких теориях схематически можно выразить как $\Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)$, где $\Delta _{0}$ — это размер, когда все связи установлены на ноль (т. е. классический размер), а $\gamma (g)$ называется аномальной размерностью и выражается в виде степенного ряда в связях, совместно обозначаемых как $g$. Такое разделение масштабных измерений на классическую и аномальную часть имеет смысл только тогда, когда связи малы, так что $\gamma (g)$ это небольшая поправка.

Обычно из-за квантовомеханических эффектов связи $g$ не остаются постоянными, а изменяются (на жаргоне квантовой теории поля , бегут ) в зависимости от шкалы расстояний в соответствии со своей бета-функцией . Поэтому аномальное измерение $\gamma (g)$ также зависит от масштаба расстояний в таких теориях. В частности, корреляционные функции локальных операторов уже не являются простыми степенями, а имеют более сложную зависимость от расстояний, обычно с логарифмическими поправками.

Может случиться так, что эволюция связей приведет к значению $g=g_{*}$ где бета-функция обращается в нуль. Тогда на больших расстояниях теория становится масштабно-инвариантной , и аномальные измерения перестают действовать. Такое поведение называется инфракрасной фиксированной точкой .

В очень особых случаях это может случиться, когда связи и аномальные размеры вообще не выполняются, так что теория масштабно-инвариантна на всех расстояниях и для любого значения связи. Например, это происходит в суперсимметричной теории Янга–Миллса N=4 .