Картографический конус (топология)

Иллюстрация картографического конуса; то есть конус приклеен к пространству по некоторой функции $f\colon X\to Y$.

В математике , особенно в теории гомотопий , конус отображения представляет собой конструкцию $C_{f}$ топологии . аналогичной факторпространству , Его также называют гомотопическим коволокном и обозначают также $Cf$. Его двойственное слоение называется слоем отображения . Конус отображения можно понимать как цилиндр отображения. $Mf$ при этом начальный конец цилиндра сжался в точку. Таким образом, конусы отображения часто применяются в гомотопической теории точечных пространств .

Определение

Учитывая карту $f\colon X\to Y$, конус отображения $C_{f}$ определяется как факторпространство цилиндра отображения $(X\times I)\sqcup _{f}Y$ относительно отношения эквивалентности $\forall x,x'\in X,(x,0)\sim \left(x',0\right)\,$, $(x,1)\sim f(x)$. Здесь $I$ обозначает единичный интервал [0, 1] со стандартной топологией . Обратите внимание, что некоторые авторы (например, Дж. Питер Мэй ) используют противоположное соглашение, меняя местами 0 и 1.

Визуально воспринимается конус на X (цилиндр $X\times I$ с одним концом (конец 0), идентифицированным до точки), и приклеивает другой конец к Y через карту f (идентификация конца 1).

берется Грубо говоря, факторпространство по образу X поэтому , $C_{f}=Y/f(X)$; это не совсем правильно из-за проблем с множеством точек, но это философия, и она уточняется такими результатами, как гомология пары и понятие n -связного отображения.

Выше приведено определение карты неточечных пространств; для карты точечных пространств $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),$ (так $f\colon x_{0}\mapsto y_{0}$), также идентифицируются все $x_{0}\times I$; формально, $(x_{0},t)\sim \left(x_{0},t'\right)\,.$ Таким образом, один конец и «шов» отождествляются с $y_{0}.$

Пример круга

Если $X$ это круг $S^{1}$, конус отображения $C_{f}$ можно рассматривать как факторпространство дизъюнктного Y объединения с диском $D^{2}$ точки x на границе формируется путем идентификации каждой $D^{2}$ в точку $f(x)$ в Ю. ​

Рассмотрим, например, случай, когда Y — диск $D^{2}$, и $f\colon S^{1}\to Y=D^{2}$ — стандартное включение круга $S^{1}$ как граница $D^{2}$. Тогда конус отображения $C_{f}$ гомеоморфен является двум дискам, соединённым на их границе, которая топологически сферой $S^{2}$.

Двойной картографический цилиндр

Конус отображения является частным случаем двойного цилиндра отображения . По сути это цилиндр $X\times I$ присоединен одним концом к пространству $Y_{1}$ через карту

$f_{1}:X\to Y_{1}$

и присоединился на другом конце к пробелу $Y_{2}$ через карту

$f_{2}:X\to Y_{2}$

Конус отображения — это вырожденный случай двойного цилиндра отображения (также известного как гомотопическое выталкивание), в котором один из $Y_{1},Y_{2}$ это одна точка.

Двойная конструкция: картографическое волокно

Основная статья: Гомотопическое волокно

Двойственным конусу отображения является слой отображения $F_{f}$. Учитывая указанную карту $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),$ слой отображения определяется как

$F_{f}=\left\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\right\}$.

Здесь I — единичный интервал, а $\omega$ — непрерывный путь в пространстве ( экспоненциальный объект ) $Y^{I}$. Слой отображения иногда обозначается как $Mf$; однако это противоречит тому же обозначению для цилиндра отображения.

Он двойственен конусу отображения в том смысле, что приведенное выше произведение по сути является расслоенным произведением или обратным способом. $X\times _{f}Y$ что двойственно к выталкиванию $X\sqcup _{f}Y$ используется для построения картографического конуса. В этом конкретном случае двойственность, по сути, представляет собой двойственность каррирования , поскольку конус отображения $(X\times I)\sqcup _{f}Y$ имеет форму карри $X\times _{f}(I\to Y)$ где $I\to Y$ это просто альтернативное обозначение пространства $Y^{I}$ всех непрерывных отображений от единичного интервала до $Y$. Оба варианта связаны сопряженным функтором . Обратите внимание, что каррирование сохраняет сокращенный характер отображений: в одном случае — до вершины конуса, а в другом — пути к базовой точке.

Приложения

CW-комплексы

Прикрепление ячейки.

Влияние на фундаментальную группу

Учитывая пространство X и цикл $\alpha \colon S^{1}\to X$ элемент фундаментальной группы X представляя , мы можем сформировать конус отображения $C_{\alpha }$. Результатом этого является создание цикла $\alpha$ сжимаемый в $C_{\alpha }$, и, следовательно, эквивалентности класс $\alpha$ в основной группе $C_{\alpha }$ будет просто элементом идентификации .

Учитывая представление группы образующими и отношениями, можно получить 2-комплекс с этой фундаментальной группой.

Гомология пары

Конус отображения позволяет интерпретировать гомологии пары как приведенные гомологии фактора. А именно, если E — теория гомологии и $i\colon A\to X$ является корасслоением , то

$E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)$,

что следует путем применения вырезания к конусу отображения.

Отношение к гомотопическим (гомологическим) эквивалентностям

Карта $f\colon X\rightarrow Y$ между односвязными комплексами CW является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда его конус отображения стягиваем.

В более общем смысле карта называется n -связной (как карта), если ее конус отображения n -связен (как пространство) плюс еще немного.

Позволять $\mathbb {} H_{*}$ быть фиксированной теорией гомологии . Карта $f\colon X\rightarrow Y$ индуцирует изоморфизмы на $H_{*}$, тогда и только тогда, когда карта $\{pt\}\hookrightarrow C_{f}$ индуцирует изоморфизм на $H_{*}$, то есть, $H_{*}(C_{f},pt)=0$.

Конусы отображения, как известно, используются для построения длинных коточных последовательностей Пуппе , из которых могут быть получены длинные точные последовательности гомотопических и относительных гомотопических групп.

См. также

• Кофибрация
• Отображающий конус (гомологическая алгебра)