Категория стабильного модуля

В теории представлений категория стабильных модулей — это категория , в которой проективы «выделены».

Определение

Пусть R кольцо — . Для двух модулей M и N над R определим ${\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)$ быть множеством R -линейных отображений из M в N по модулю отношения, что f ~ g , если f − g факторизуется через проективный модуль . Категория стабильных модулей определяется путем установки объектов в качестве R -модулей, а морфизмов - в качестве классов эквивалентности. ${\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)$.

Для модуля M пусть P — проективный модуль с сюръекцией $p\colon P\to M$. Затем установите $\Omega (M)$ быть ядром p ​ . Предположим, нам дан морфизм $f\colon M\to N$ и сюръекция $q\colon Q\to N$ где Q проективно. Тогда можно поднять f на отображение $P\to Q$ какие карты $\Omega (M)$ в $\Omega (N)$. Это дает четко определенный функтор $\Omega$ из категории стабильных модулей в себя.

Для некоторых колец, например алгебр Фробениуса , $\Omega$ есть эквивалентность категорий . В этом случае обратный $\Omega ^{-1}$ можно определить следующим образом. Учитывая M , найдите инъективный модуль I с включением $i\colon M\to I$. Затем $\Omega ^{-1}(M)$ определяется коядро i . как Особый интерес представляет случай, когда кольцо R является групповой алгеброй .

Функтор Ω ⁻¹ может быть даже определена в категории модулей общего кольца (без вынесения проективов) как коядро инъективной оболочки . В этом случае не обязательно, что функтор Ω ⁻¹ на самом деле является обратным к Ω. Одним из важных свойств категории стабильных модулей является то, что она позволяет определить функтор Ω для общих колец. Когда R совершенен , давая (или M и конечно порожден R полусовершенен ) . , то Ω( M ) можно определить как ядро ​​проективного накрытия функтор на категории модулей Однако в общем случае проективные накрытия не обязательно должны существовать, поэтому необходим переход к категории стабильных модулей.

Связи с когомологиями

Теперь предположим, что = kG — групповая алгебра для некоторого поля k и некоторой группы G. R Можно показать, что существуют изоморфизмы

${\underline {\mathrm {Hom} }}(\Omega ^{n}(M),N)\cong \mathrm {Ext} _{kG}^{n}(M,N)\cong {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,\Omega ^{-n}(N))$

для каждого положительного целого числа n . Групповые когомологии представления M имеют вид $\mathrm {H} ^{n}(G;M)=\mathrm {Ext} _{kG}^{n}(k,M)$ где k имеет тривиальное G -действие, поэтому, таким образом, категория стабильных модулей дает естественную среду, в которой живут групповые когомологии.

Кроме того, приведенный выше изоморфизм предлагает определить группы когомологий для отрицательных значений n , и таким образом можно восстановить когомологии Тейта .

Триангулированная структура

последовательность Точная

$0\to X\to E\to Y\to 0$

в обычной категории модулей определяет элемент $\mathrm {Ext} _{kG}^{1}(Y,X)$, и, следовательно, элемент ${\underline {\mathrm {Hom} }}(Y,\Omega ^{-1}(X))$, так что мы получили последовательность

$X\to E\to Y\to \Omega ^{-1}(X).$

принимая $\Omega ^{-1}$ быть функтором перевода, а такие последовательности, как указано выше, быть точными треугольниками, категория стабильного модуля становится триангулированной категорией .

См. также

• Стабильная теория гомотопий

Ссылки

• Дж. Ф. Карлсон, Лиза Таунсли, Луис Валеро-Элизондо, Мученг Чжан, Когомологические кольца конечных групп , Springer-Verlag, 2003.