Гомологии Флоера

В математике гомологии Флоера — инструмент для изучения симплектической геометрии и низкоразмерной топологии . Гомологии Флоера — это новый инвариант , который возникает как бесконечномерный аналог конечномерных гомологий Морса . Андреас Флоер представил первую версию гомологии Флоера, теперь называемую симплектической гомологией Флоера, в своем доказательстве гипотезы Арнольда в симплектической геометрии. Флоер также разработал близкородственную теорию лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия . Третья конструкция, также принадлежащая Флоеру, сопоставляет группы гомологий замкнутым трехмерным многообразиям с помощью функционала Янга – Миллса . Эти конструкции и их потомки играют фундаментальную роль в современных исследованиях топологии симплектических и контактных многообразий, а также (гладких) трех- и четырехмерных многообразий.

Гомологии Флоера обычно определяются путем сопоставления интересующему объекту бесконечномерного многообразия и вещественной функции на нем. В симплектической версии это пространство свободных петель симплектического многообразия с симплектическим функционалом действия. Для ( инстантонной ) версии трехмногообразий это пространство SU(2) -связностей на трехмерном многообразии с функционалом Черна–Саймонса . Грубо говоря, гомологии Флоера — это гомологии Морса функции на бесконечномерном многообразии. Флоера Цепной комплекс формируется из абелевой группы, натянутой критическими точками функции (или, возможно, определенным набором критических точек). Дифференциал соединяющих цепного комплекса определяется путем подсчета линий тока функции, векторного поля градиента фиксированные пары критических точек (или их наборов). Гомологии Флоера — это гомологии этого цепного комплекса.

Уравнение градиентной линии тока в ситуации, когда идеи Флоера могут быть успешно применены, обычно представляет собой геометрически значимое и аналитически понятное уравнение. Для симплектических гомологий Флоера уравнение градиентного потока для пути в пространстве петель представляет собой (возмущенную версию) уравнение Коши – Римана для отображения цилиндра (общего пространства пути петель) в интересующее симплектическое многообразие; решения известны как псевдоголоморфные кривые . Затем теорема о компактности Громова используется, чтобы показать, что количество линий тока, определяющих дифференциал, конечно, так что дифференциал четко определен и равен нулю. Таким образом, определены гомологии Флоера. Для инстантонных гомологий Флоера уравнение градиентного потока представляет собой в точности уравнение Янга – Миллса на трехмерном многообразии, пересекающемся с действительной линией.

Симплектическая гомология Флоера

Симплектические гомологии Флоера (SFH) — это теория гомологии, связанная с симплектическим многообразием невырожденным симплектоморфизмом и его . Если симплектоморфизм гамильтонов , гомологии возникают в результате изучения симплектического функционала действия на ( универсальном покрытии ) свободного пространства петель симплектического многообразия. SFH инвариантен относительно гамильтоновой изотопии симплектоморфизма.

Здесь невырожденность означает, что 1 не является собственным значением производной симплектоморфизма ни в одной из его неподвижных точек. Это условие означает, что неподвижные точки изолированы. SFH — это гомологии цепного комплекса, порожденного неподвижными точками такого симплектоморфизма, где дифференциал считает некоторые псевдоголоморфные кривые в произведении вещественной прямой и тора отображения симплектоморфизма. Это само по себе симплектическое многообразие размерности на два больше исходного многообразия. При соответствующем выборе почти комплексной структуры проколотые голоморфные кривые (конечной энергии) в ней имеют цилиндрические концы, асимптотические петлям в торе отображения, соответствующим неподвижным точкам симплектоморфизма. Относительный индекс может быть определен между парами неподвижных точек, и дифференциал подсчитывает количество голоморфных цилиндров с относительным индексом 1.

Симплектические гомологии Флоера гамильтонова симплектоморфизма компактного многообразия изоморфны сингулярным гомологиям основного многообразия. Таким образом, сумма чисел Бетти этого многообразия дает нижнюю оценку, предсказанную одной версией гипотезы Арнольда для числа неподвижных точек для невырожденного симплектоморфизма. SFH гамильтонова симплектоморфизма также имеет произведение пары штанов , которое представляет собой произведение деформированной чашки, эквивалентное квантовым когомологиям . Версия произведения также существует для неточных симплектоморфизмов.

Для кокасательного расслоения многообразия M гомологии Флоера зависят от выбора гамильтониана ввиду его некомпактности. Для гамильтонианов, квадратичных на бесконечности, гомологии Флоера являются сингулярными гомологиями пространства свободных петель M (доказательства различных версий этого утверждения принадлежат Витербо, Саламону–Веберу, Аббондандоло–Шварцу и Коэну). Существуют более сложные операции над гомологиями Флоера кокасательного расслоения, которые соответствуют операциям струнной топологии над гомологиями пространства петель основного многообразия.

Симплектическая версия гомологии Флоера играет решающую роль в формулировке гипотезы гомологической зеркальной симметрии .

PSS-изоморфизм

В 1996 г. С. Пюнихин, Д. Саламон и М. Шварц обобщили результаты о связи гомологий Флоера и квантовых когомологий и сформулировали следующее. Пюнихин, Саламон и Шварц (1996)

• Группы когомологий Флоера пространства петель полуположительного симплектического многообразия ( M ,ω) естественно изоморфны обычным когомологиям M , тензорированным подходящим кольцом Новикова , ассоциированным с группой накрывающих преобразований .
• Этот изоморфизм переплетает структуру произведения квантовой чашки на когомологиях M со структурой произведения пары штанов на гомологиях Флоера.

Приведенное выше условие полуположительности и компактности симплектического многообразия M необходимо для получения кольца Новикова и для определения как гомологий Флоера, так и квантовых когомологий. Полуположительное условие означает, что выполняется одно из следующих условий (обратите внимание, что эти три случая не являются непересекающимися):

• $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ для любого A из π ₂ ( M ), где λ≥0 ( M монотонно ) .
• $\langle c_{1},A\rangle =0$ для любого A из π ₂ ( M ).
• Минимальное число Чженя N ≥ 0, определяемое формулой $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ больше или равно n - 2.

Группу квантовых когомологий симплектического многообразия M можно определить как тензорное произведение обычных когомологий с кольцом Новикова Λ, т.е.

$QH_{*}(M)=H_{*}(M)\otimes \Lambda .$

Эта конструкция гомологий Флоера объясняет независимость выбора почти комплексной структуры на М и изоморфизм гомологиям Флоера, обеспечиваемый идеями теории Морса и псевдоголоморфных кривых которых мы должны признать двойственность Пуанкаре , в основе между гомологиями и когомологиями.

Гомологии Флоера трехмерных многообразий

Существует несколько эквивалентных гомологий Флоера, связанных с замкнутыми трехмерными многообразиями . Каждый из них дает три типа групп гомологии, которые укладываются в точный треугольник . Узел в трехмерном многообразии индуцирует фильтрацию на цепном комплексе каждой теории, гомотопический тип цепочки которой является инвариантом узла. (Их гомологии удовлетворяют формальным свойствам, аналогичным комбинаторно определенным гомологиям Хованова .)

Эти гомологии тесно связаны с инвариантами Дональдсона и Зайберга 4-многообразий, а также с инвариантом Громова Таубса симплектических 4-многообразий; дифференциалы соответствующих трехмногообразных гомологий этих теорий изучаются путем рассмотрения решений соответствующих дифференциальных уравнений ( Янга–Миллса , Зайберга–Виттена и Коши–Римана соответственно) на кресте трехмерного R. многообразия Гомологии Флоера 3-многообразия также должны быть объектом относительных инвариантов для четырех-многообразий с краем, связанных конструкциями склейки с инвариантами замкнутого 4-многообразия, полученными склейкой ограниченных 3-многообразий вдоль их границ. (Это тесно связано с понятием топологической квантовой теории поля .) Для гомологий Хигорада Флоера сначала были определены гомологии 3-многообразий, а позже на их основе был определен инвариант для замкнутых 4-многообразий.

Существуют также расширения гомологий 3-многообразия до 3-многообразий с краем: сшитые гомологии Флоера ( Юхас, 2008 ) и ограниченные гомологии Флоера ( Липшиц, Озсват и Терстон, 2008 ). Они связаны с инвариантами замкнутых 3-многообразий посредством склейки формул гомологий Флоера 3-многообразия, описываемого как объединение по границе двух 3-многообразий с краем.

Гомологии Флоера с тремя многообразиями также обладают отличительным элементом гомологии, если трехмногообразие оснащено контактной структурой . Кронхаймер и Мровка впервые представили контактный элемент в случае Зайберга-Виттена. Озсват и Сабо построили его для гомологии Хигорада Флоера, используя соотношение Жиру между контактными многообразиями и разложениями открытых книг, и он бесплатно появляется как класс гомологии пустого множества во вложенных контактных гомологиях. (Который, в отличие от трех других, требует для своего определения контактной структуры. О встроенной контактной гомологии см. Hutchings (2009) .

Все эти теории имеют априорную относительную классификацию; они были подняты до абсолютных градуировок (гомотопическими классами ориентированных 2-плоскостных полей) Кронхаймером и Мровкой (для SWF), Гриппом и Хуангом (для HF) и Хатчингсом (для ECH). Кристофаро-Гардинер показал, что изоморфизм Таубса между когомологиями ECH и Зайберга – Виттена Флоера сохраняет эти абсолютные градуировки.

Гомологии Инстантона Флоера

Это инвариант трех многообразий, связанный с теорией Дональдсона, введенной самим Флоером. Он получается с помощью функционала Черна–Саймонса в пространстве связностей на главном SU(2) -расслоении над трехмерным многообразием (точнее, гомологическими 3-сферами). Ее критические точки — плоские связности , а линии тока — инстантоны , т.е. антиавтодуальные связности на трехмногообразии, пересекающиеся с действительной прямой. Гомологии Инстантона Флоера можно рассматривать как обобщение инварианта Кассона, поскольку эйлерова характеристика гомологий Флоера согласуется с инвариантом Кассона.

Вскоре после введения Флоером гомологии Флоера Дональдсон понял, что кобордизмы порождают карты. Это был первый пример структуры, которая стала известна как топологическая квантовая теория поля .

Гомологии Зайберга – Виттена Флоера

Гомологии Зайберга – Виттена Флоера или монопольные гомологии Флоера - это теория гомологии гладких трехмерных многообразий (наделенных спином ^с структура ). Его можно рассматривать как гомологии Морса функционала Черна–Саймонса–Дирака на связностях U(1) на трехмерном многообразии. Соответствующее уравнение градиентного потока соответствует уравнениям Зайберга – Виттена на трехмерном многообразии, пересекаемом с действительной линией. Эквивалентно, генераторы цепного комплекса являются трансляционно-инвариантными решениями уравнений Зайберга–Виттена (известных как монополи) на произведении трехмерного многообразия и действительной прямой, а дифференциальный подсчет решений уравнений Зайберга–Виттена на произведении трехмерного многообразия и вещественной прямой, асимптотических к инвариантным решениям на бесконечности и отрицательной бесконечности.

Одна версия гомологии Зайберга-Виттена-Флоера была строго построена в монографии «Монополи и три-многообразия» Питера Кронхаймера и Томаша Мровки , где она известна как монопольные гомологии Флоера. Таубс показал, что он изоморфен вложенным контактным гомологиям. Альтернативные конструкции SWF для трехмерных сфер рациональной гомологии были даны Манолеску (2003) и Фройшовым (2010) ; они, как известно, согласны.

Гомологии Хегорада Флоера

Гомологии Хегаарда Флоера // является инвариантом Петера Ожвата и Золтана Сабо замкнутого трехмерного многообразия, оснащенного спином ^с структура. Он вычисляется с использованием диаграммы Хигора пространства с помощью конструкции, аналогичной лагранжевой гомологии Флоера. Кутлухан, Ли и Таубс (2020) объявили о доказательстве того, что гомологии Хигорада Флоера изоморфны гомологиям Зайберга – Виттена Флоера, а Колин, Гиггини и Хонда (2011) объявили о доказательстве того, что плюс-версия гомологий Хигорада Флоера (с обратной ориентацией) изоморфен вложенным контактным гомологиям.

Узел в трехмерном многообразии вызывает фильтрацию на группах гомологий Хегора Флоера, а фильтруемый гомотопический тип представляет собой мощный инвариант узла , называемый гомологией узла Флоера. Он классифицирует полином Александера . Гомология Knot Floer была определена Ozsváth & Szabó (2004) и независимо Rasmussen (2003) . Известно обнаружение рода узлов. Используя сеточные диаграммы дали комбинаторную конструкцию узла гомологии Флоера для расщеплений Хегора, Манолеску, Озсват и Саркар (2009) .

Гомологии Хегора Флоера двойного накрытия S^3, разветвленного над узлом, связаны спектральной последовательностью с гомологиями Хованова ( Ozsváth & Szabó 2005 ).

«Шляпная» версия гомологии Хигаарда Флоера была комбинаторно описана Саркаром и Вангом (2010) . «Плюс» и «минус» версии гомологии Хегаарда Флоера и соответствующие четырехмногообразные инварианты Озсвата – Сабо также могут быть описаны комбинаторно ( Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009 ).

Встроенная контактная гомология

Вложенные контактные гомологии , предложенные Майклом Хатчингсом , являются инвариантом 3-многообразий (с выделенным вторым классом гомологии, соответствующим выбору спина ^с структура в гомологиях Зайберга-Виттена Флоера), изоморфная (согласно работе Клиффорда Таубса ) когомологиям Зайберга-Виттена Флоера и, следовательно (согласно работе, анонсированной Кутлуханом , Ли и Таубсом 2020 и Колином, Гиггини и Хондой 2011 ) плюс-версии Хегора Гомология Флоера (с обратной ориентацией). Его можно рассматривать как расширение инварианта Громова Таубса , известного как эквивалентный инварианту Зайберга-Виттена , от замкнутых симплектических 4-многообразий до некоторых некомпактных симплектических 4-многообразий (а именно, контактного трехмногообразного креста R). Ее конструкция аналогична симплектической теории поля в том смысле, что она порождается определенным набором замкнутых орбит Риба , а ее дифференциал считает определенные голоморфные кривые с концами в определенных наборах орбит Риба. Он отличается от SFT техническими условиями на наборы орбит Риба, которые его порождают, а также тем, что не учитываются все голоморфные кривые с индексом Фредгольма 1 с заданными концами, а только те, которые также удовлетворяют топологическому условию, заданному Индекс ECH , что, в частности, подразумевает, что рассматриваемые кривые являются (в основном) вложенными.

о Гипотеза Вайнштейна том, что контактное 3-многообразие имеет замкнутую орбиту Риба для любой контактной формы, справедлива на любом многообразии, ECH которого нетривиален, и была доказана Таубсом с использованием методов, тесно связанных с ECH; Расширение этой работы привело к изоморфизму между ECH и SWF. Многие конструкции в ECH (включая его четкость) опираются на этот изоморфизм ( Taubes 2007 ).

Контактный элемент ECH имеет особенно приятную форму: это цикл, связанный с пустым набором орбит Риба.

Аналог вложенных контактных гомологий может быть определен для отображения торов симплектоморфизмов поверхности (возможно, с краем) и известен как периодические гомологии Флоера, обобщающие симплектические гомологии Флоера поверхностных симплектоморфизмов. В более общем смысле его можно определить относительно любой стабильной гамильтоновой структуры в 3-многообразии; Как и контактные структуры, стабильные гамильтоновы структуры определяют ненулевое векторное поле (векторное поле Риба), и Хатчингс и Таубс доказали для них аналог гипотезы Вайнштейна, а именно, что они всегда имеют замкнутые орбиты (если только они не отображают торы 2 -тор).

Лагранжево пересечение гомологии Флоера

Лагранжевы гомологии Флоера двух трансверсально пересекающихся лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия — это гомологии цепного комплекса, порожденного точками пересечения двух подмногообразий и дифференциал которого считает псевдоголоморфные диски Уитни .

Учитывая три лагранжевых подмногообразия L ₀ , L ₁ и L ₂ симплектического многообразия, существует структура произведения на лагранжевых гомологиях Флоера:

$HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2}),$

который определяется путем подсчета голоморфных треугольников (то есть голоморфных отображений треугольника, вершины и ребра которого отображаются в соответствующие точки пересечения и лагранжевы подмногообразия).

Статьи по этому вопросу принадлежат Фукае, О, Оно и Оте; недавние работы по « кластерной гомологии » Лалонда и Роговицы предлагают другой подход к этому вопросу. Гомологии Флоера пары лагранжевых подмногообразий не всегда могут существовать; когда это происходит, это создает препятствие для отделения одного лагранжиана от другого с использованием гамильтоновой изотопии .

Некоторые виды гомологий Флоера являются частными случаями лагранжевых гомологий Флоера. Симплектические гомологии Флоера симплектоморфизма M можно рассматривать как случай лагранжевых гомологий Флоера, в которых объемлющее многообразие представляет собой M, пересеченное с M, а лагранжевы подмногообразия являются диагональю и графиком симплектоморфизма. Конструкция гомологий Хигора Флоера основана на варианте лагранжевых гомологий Флоера для вполне вещественных подмногообразий, определенных с помощью расщепления Хигора трехмерного многообразия. Зейдель-Смит и Манолеску построили инвариант зацепления как определенный случай лагранжевых гомологий Флоера, который предположительно согласуется с гомологиями Хованова , комбинаторно определенным инвариантом зацепления.

Гипотеза Атьи – Флоера

Гипотеза Атьи-Флоера связывает инстантонные гомологии Флоера с гомологиями Флоера лагранжевого пересечения. Рассмотрим трехмерное многообразие Y с расщеплением Хигора вдоль поверхности $\Sigma$. Тогда пространство плоских связностей на $\Sigma$ по модулю калибровочной эквивалентности является симплектическим многообразием $M(\Sigma )$ размерности 6 g − 6, где g — род поверхности $\Sigma$. В расщеплении Хигора $\Sigma$ ограничивает два разных 3-многообразия; пространство плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности на каждом 3-многообразии с краем, вложенным в $M(\Sigma )$ как лагранжево подмногообразие. Можно рассмотреть гомологии Флоера лагранжевого пересечения. Альтернативно мы можем рассмотреть гомологии Инстантона Флоера 3-многообразия Y. Гипотеза Атьи–Флоера утверждает, что эти два инварианта изоморфны.

Связь с зеркальной симметрией

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии предсказывает Максима Концевича равенство лагранжевых гомологий Флоера лагранжианов в многообразии Калаби – Яу. $X$ и группы Ext когерентных пучков на зеркальном многообразии Калаби–Яу. В этой ситуации следует ориентироваться не на группы гомологии Флоера, а на группы цепей Флоера. Подобно произведению «пара штанов», можно строить мультикомпозиции, используя псевдоголоморфные n -угольники. Эти композиции удовлетворяют $A_{\infty }$-отношения, превращающие категорию всех (беспрепятственных) лагранжевых подмногообразий в симплектическом многообразии в $A_{\infty }$-категория, называемая категорией Фукая .

Точнее, к лагранжиану необходимо добавить дополнительные данные — градуировку и спиновую структуру . Лагранжиан с выбором этих структур часто называют браной в знак уважения к основной физике. Гипотеза гомологической зеркальной симметрии утверждает, что существует своего рода производная эквивалентность Морита между категорией Фукая группы Калаби – Яу. $X$ и категория dg, лежащая в основе ограниченной производной категории когерентных пучков зеркала, и наоборот.

Симплектическая теория поля (SFT)

Это инвариант контактных многообразий и симплектических кобордизмов между ними, первоначально принадлежит Якову Элиашбергу , Александру Гивенталю и Хельмуту Хоферу . Симплектическая теория поля, а также ее подкомплексы — рациональная симплектическая теория поля и контактные гомологии — определяются как гомологии дифференциальных алгебр, порождаемых замкнутыми орбитами векторного поля Риба выбранной контактной формы. Дифференциал подсчитывает некоторые голоморфные кривые в цилиндре над контактным многообразием, тривиальными примерами которого являются разветвленные накрытия (тривиальных) цилиндров над замкнутыми орбитами Риба. Кроме того, она включает в себя линейную теорию гомологии, называемую цилиндрической или линеаризованной контактной гомологией (иногда, из-за злоупотребления обозначениями, просто контактной гомологией), чьи цепные группы представляют собой векторные пространства, порожденные замкнутыми орбитами, и чьи дифференциалы учитывают только голоморфные цилиндры. Однако цилиндрические контактные гомологии не всегда определяются из-за наличия голоморфных дисков и отсутствия результатов о регулярности и трансверсальности. В ситуациях, когда гомология цилиндрического контакта имеет смысл, ее можно рассматривать как (слегка измененную) Гомологии Морса функционала действия на свободном петлевом пространстве, который переводит петлю в интеграл контактной формы альфа по петле. Критическими точками этого функционала являются орбиты Риба.

SFT также связывает относительный инвариант лежандрова подмногообразия контактного многообразия, известный как относительная контактная гомология . Его генераторами являются хорды Риба, которые представляют собой траектории векторного поля Риба, начинающиеся и заканчивающиеся на лагранжиане, а его дифференциал считает некоторые голоморфные полосы в симплектизации контактного многообразия, концы которых асимптотичны заданным хордам Риба.

В SFT контактные многообразия можно заменить отображениями торов симплектических многообразий с симплектоморфизмами. В то время как цилиндрические контактные гомологии четко определены и задаются симплектическими гомологиями Флоера степеней симплектоморфизма, (рациональная) симплектическая теория поля и контактные гомологии могут рассматриваться как обобщенные симплектические гомологии Флоера. Однако в важном случае, когда симплектоморфизм представляет собой отображение гамильтониана, зависящего от времени, в единицу времени, было показано, что эти высшие инварианты не содержат никакой дополнительной информации.

Гомотопия Флоера

Одним из мыслимых способов построить теорию гомологии Флоера некоторого объекта было бы построение связанного спектра , обычная гомология которого является желаемой гомологией Флоера. Применение других теорий гомологии к такому спектру могло бы привести к появлению других интересных инвариантов. Эта стратегия была предложена Ральфом Коэном, Джоном Джонсом и Грэмом Сигалом и реализована в некоторых случаях для гомологий Зайберга-Виттена-Флоера Манолеску (2003) и для симплектических гомологий Флоера кокасательных расслоений Коэном. Этот подход лег в основу конструкции Манолеску в 2013 году Pin (2)-эквивариантных гомологий Зайберга – Виттена Флоера, с помощью которой он опроверг гипотезу триангуляции для многообразий размерности 5 и выше.

Аналитические основы

Многие из этих гомологий Флоера не были полностью и строго построены, а многие гипотетические эквивалентности не доказаны. При анализе возникают технические трудности, особенно при построении компактифицированных пространств модулей псевдоголоморфных кривых. Хофер в сотрудничестве с Крисом Высоцким и Эдуардом Цендером разработал новые аналитические основы на основе своей теории многообразий и «общей теории Фредгольма». Хотя проект полифолда еще не полностью завершен, в некоторых важных случаях трансверсальность была показана с использованием более простых методов.

Вычисление

Гомологии Флоера обычно трудно вычислить явно. Например, симплектическая гомология Флоера для всех поверхностных симплектоморфизмов была завершена только в 2007 году. Гомология Хегаарда Флоера в этом отношении стала историей успеха: исследователи использовали ее алгебраическую структуру для ее вычисления для различных классов трехмерных многообразий и нашли комбинаторные алгоритмы вычисленийбольшую часть теории. Это также связано с существующими инвариантами и структурами, что привело к множеству идей в топологии трехмерного многообразия.

Ссылки

Книги и обзоры

• Атья, Майкл (1988). «Новые инварианты 3- и 4-мерных многообразий» . Математическое наследие Германа Вейля . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 48. стр. 285–299. дои : 10.1090/pspum/048/974342 . ISBN  9780821814826 .
• Огюстен Баньяга ; Дэвид Хуртубис (2004). Лекции по гомологии Морса . Академическое издательство Kluwer . ISBN  978-1-4020-2695-9 .
• Саймон Дональдсон ; М. Фурута; Д. Кочик (2002). Группы гомологии Флоера в теории Янга–Миллса . Кембриджские трактаты по математике. Том. 147. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-80803-3 .
• Эллвуд, Дэвид А.; Озсват, Питер С .; Стипсич, Андраш И.; Сабо, Золтан , ред. (2006). Гомологии Флоера, калибровочная теория и низкоразмерная топология . Клэй Труды по математике. Том. 5. Математический институт Клэя . ISBN  978-0-8218-3845-7 .
• Кронхаймер, Питер ; Мровка, Томаш (2007). Монополи и трехмногообразия . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-88022-0 .
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Дитмар (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-850451-1 .
• Макдафф, Дуса (2005). «Теория Флоера и низкоразмерная топология» . Бюллетень Американского математического общества . 43 : 25–42. дои : 10.1090/S0273-0979-05-01080-3 . МР   2188174 .
• Шварц, Матиас (2012) [1993]. Гомология Морса . Прогресс в математике. Том. 111. Биркхойзер . ISBN  978-3-0348-8577-5 .
• Зайдель, Пол (2008). Категории Фукая и теория Пикара Лефшеца . Европейское математическое общество . ISBN  978-3037190630 .

Научные статьи

• Колин, Винсент; Гиггини, Паоло; Хонда, Ко (2011). «Эквивалентность гомологий Хигорада Флоера и гомологий встроенного контакта посредством разложения открытой книги» . ПНАС . 108 (20): 8100–8105. Бибкод : 2011PNAS..108.8100C . дои : 10.1073/pnas.1018734108 . ПМК   3100941 . ПМИД   21525415 .
• Флоер, Андреас (1988). «Нерегулярный градиентный поток симплектического действия». Комм. Чистое приложение. Математика. 41 (6): 775–813. дои : 10.1002/cpa.3160410603 .
• ——— (1988). «Инстантон-инвариант для 3-многообразий» . Комм. Математика. Физ. 118 (2): 215–240. Бибкод : 1988CMaPh.118..215F . дои : 10.1007/BF01218578 . S2CID   122096068 . Проект Евклид
• ——— (1988). «Теория Морса для лагранжевых пересечений» . Дж. Дифференциальная геометрия. 28 (3): 513–547. дои : 10.4310/jdg/1214442477 . МР   0965228 .
• ——— (1989). «Оценки длины чашки на лагранжевых пересечениях». Комм. Чистое приложение. Математика . 42 (4): 335–356. дои : 10.1002/cpa.3160420402 .
• ——— (1989). «Симплектические неподвижные точки и голоморфные сферы» . Комм. Математика. Физ . 120 (4): 575–611. Бибкод : 1988CMaPh.120..575F . дои : 10.1007/BF01260388 . S2CID   123345003 .
• ——— (1989). «Сложная и бесконечномерная теория Морса Виттена» (PDF) . Дж. Диф. Геом . 30 (1): 202–221. дои : 10.4310/jdg/1214443291 .
• Фрёйшов, Ким А. (2010). «Монопольные гомологии Флоера для рациональных гомологий 3-сфер». Герцог Мат. Дж. 155 (3): 519–576. arXiv : 0809.4842 . дои : 10.1215/00127094-2010-060 . S2CID   8073050 .
• Громов, Михаил (1985). «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях». Математические изобретения . 82 (2): 307–347. Бибкод : 1985InMat..82..307G . дои : 10.1007/BF01388806 . S2CID   4983969 .
• Хофер, Хельмут ; Высоцкий, Крис; Цендер, Эдуард (2007). «Общая теория Фредгольма I: дифференциальная геометрия, основанная на сплайсинге». Журнал Европейского математического общества . 9 (4): 841–876. arXiv : math.FA/0612604 . Бибкод : 2006math.....12604H . дои : 10.4171/JEMS/99 . S2CID   14716262 .
• Юхас, Андраш (2008). «Гомология Флоера и поверхностное разложение». Геометрия и топология . 12 (1): 299–350. arXiv : math/0609779 . дои : 10.2140/gt.2008.12.299 . S2CID   56418423 .
• Кутлухан, Чагатай; Ли, И-Джен; Таубс, Клиффорд Генри (2020). «HF = HM I: гомология Хегаарда Флоера и гомология Зайберга – Виттена Флоера». Геометрия и топология . 24 (6): 2829–2854. arXiv : 1007.1979 . дои : 10.2140/gt.2020.24.2829 . S2CID   118772589 .
• Липшиц, Роберт; Озсват, Питер ; Терстон, Дилан (2008). «Гомология Хегорада Флоера с границей: инвариантность и спаривание». Мемуары Американского математического общества . 254 (1216). arXiv : 0810.0687 . дои : 10.1090/memo/1216 . S2CID   115166724 .
• Манолеску, Чиприан (2003). «Стабильный гомотопический тип Зайберга – Виттена – Флоера трехмерных многообразий с b ₁ = 0». Геом. Тополь. 7 (2): 889–932. arXiv : math/0104024 . дои : 10.2140/gt.2003.7.889 . S2CID   9130339 .
• Манолеску, Чиприан; Озсват, Питер С.; Саркар, Сухарит (2009). «Комбинаторное описание гомологии узла Флоера». Энн. математики. 169 (2): 633–660. arXiv : math/0607691 . Бибкод : 2006math......7691M . дои : 10.4007/анналы.2009.169.633 . S2CID   15427272 .
• Манолеску, Чиприан; Озсват, Питер; Терстон, Дилан (2009). «Сетчатые диаграммы и инварианты Хегора Флоера». arXiv : 0910.0078 [ math.GT ].
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2004). «Голоморфные диски и топологические инварианты замкнутых трехмерных многообразий». Энн. математики. 159 (3): 1027–1158. arXiv : math/0101206 . Бибкод : 2001math......1206O . дои : 10.4007/анналы.2004.159.1027 . S2CID   119143219 .
• ———; Сабо (2004). «Голоморфные диски и трехмерные инварианты: свойства и приложения». Энн. математики . 159 (3): 1159–1245. arXiv : math/0105202 . Бибкод : 2001math......5202O . дои : 10.4007/анналы.2004.159.1159 . S2CID   8154024 .
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2004). «Голоморфные диски и инварианты узлов» . Достижения в математике . 186 (1): 58–116. arXiv : math.GT/0209056 . дои : 10.1016/j.aim.2003.05.001 .
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2005). «О гомологиях Хигорада Флоера разветвленных двойных накрытий» . Достижения в математике . 194 (1): 1–33. arXiv : math.GT/0209056 . Бибкод : 2003math......9170O . дои : 10.1016/j.aim.2004.05.008 . S2CID   17245314 .
• Расмуссен, Джейкоб (2003). «Гомологии Флоера и дополнения узлов». arXiv : math/0306378 .
• Саламон, Дитмар; Верхайм, Катрин (2008). «Гомологии Инстантона Флоера с лагранжевыми граничными условиями». Геометрия и топология . 12 (2): 747–918. arXiv : math/0607318 . дои : 10.2140/gt.2008.12.747 . S2CID   119680541 .
• Саркар, Сухарит; Ван, Цзяцзюнь (2010). «Алгоритм вычисления некоторых гомологий Хигорада Флоера». Энн. математики . 171 (2): 1213–1236. arXiv : math/0607777 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1213 . S2CID   55279928 .
• Хатчингс (2009). «Пересмотр встроенного индекса гомологии контактов». Новые перспективы и проблемы симплектической теории поля . Материалы CRM и конспекты лекций. Том. 49. стр. 263–297. arXiv : 0805.1240 . Бибкод : 2008arXiv0805.1240H . дои : 10.1090/crmp/049/10 . ISBN  9780821843567 . S2CID   7751880 .
• Таубс, Клиффорд (2007). «Уравнения Зайберга – Виттена и гипотеза Вайстейна». Геом. Тополь . 11 (4): 2117–2202. arXiv : math/0611007 . дои : 10.2140/gt.2007.11.2117 . S2CID   119680690 .
• Пюнихин, Сергей; Саламон, Дитмар; Шварц, Матиас (1996). «Симплектическая теория Флоера – Дональдсона и квантовые когомологии». Контактная и симплектическая геометрия . Издательство Кембриджского университета. стр. 171–200. ISBN  978-0-521-57086-2 .

Внешние ссылки

• «Гипотеза Атьи-Флоера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• « Гомология узлов Хигаарда Флоера », Атлас узлов .