Гипотеза Вайнштейна
В математике гипотеза Вайнштейна общей проблеме существования периодических орбит гамильтоновых относится к или Риба векторных потоков . Более конкретно, гипотеза утверждает, что на компактном контактном многообразии его векторное поле Риба должно иметь хотя бы одну периодическую орбиту.
Множество уровня контактного типа по определению допускает контактную форму, полученную стягиванием гамильтонова векторного поля к симплектической форме. В этом случае гамильтонов поток представляет собой векторное поле Риба на этом множестве уровня. Это факт, что любое контактное многообразие ( M ,α) может быть вложено в каноническое симплектическое многообразие, называемое симплектизацией M вид , такое, что M является множеством уровня контактного типа (канонически определенного гамильтониана), а векторное поле Риба имеет гамильтонов поток. То есть любое контактное многообразие можно создать так, чтобы оно удовлетворяло требованиям гипотезы Вайнштейна. Поскольку, как нетрудно показать, любая орбита гамильтонова потока содержится в множестве уровня, гипотеза Вайнштейна является утверждением о контактных многообразиях.
Известно, что любая контактная форма изотопна форме, допускающей замкнутую орбиту Риба; например, для любого контактного многообразия существует совместимое разложение открытой книги , связкой которого является замкнутая орбита Риба. Однако этого недостаточно, чтобы доказать гипотезу Вайнштейна, поскольку гипотеза Вайнштейна утверждает, что каждая контактная форма допускает замкнутую орбиту Риба, в то время как открытая книга определяет замкнутую орбиту Риба для формы, которая только изотопна данной форме.
Гипотеза была сформулирована в 1978 году Аланом Вайнштейном . [1] В ряде случаев было известно о существовании периодической орбиты. Например, Рабиновиц показал, что на звездных множествах уровня функции Гамильтона на симплектическом многообразии всегда существуют периодические орбиты (Вайнштейн независимо доказал частный случай выпуклых множеств уровня). [2] Вайнштейн заметил, что гипотезы некоторых таких теорем существования можно отнести к условию, что множество уровня имеет контактный тип. (Исходная гипотеза Вайнштейна включала условие тривиальности первой группы когомологий де Рама множества уровня; эта гипотеза оказалась ненужной).
Гипотеза Вайнштейна была впервые доказана для контактных гиперповерхностей в в 1986 году Витербо , [3] затем расширен на кокасательные расслоения Хофером–Витербо и на более широкие классы асферических многообразий Флоером–Хофером–Витербо. Наличие голоморфных сфер использовал Хофер-Витербо. [4] Во всех этих случаях речь шла о ситуации, когда контактное многообразие является контактным подмногообразием симплектического многообразия. Новый подход без этого предположения был открыт Хофером в размерности 3 и лежит в основе контактной гомологии. [5]
Гипотеза Вайнштейна теперь доказана для всех замкнутых трехмерных многообразий Клиффордом Таубсом . [6] Доказательство использует вариант гомологии Зайберга-Виттена Флёра и реализует стратегию, аналогичную доказательству Таубса о том, что инварианты Зайберга-Виттена и Громова эквивалентны на симплектическом четырехмногообразии. В частности, доказательство позволяет сократить тесно связанную программу доказательства гипотезы Вайнштейна, показывая, что вложенные контактные гомологии любого контактного трехмерного многообразия нетривиальны.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вайнштейн, А. (1979). «О гипотезах теорем Рабиновича о периодических орбитах» . Журнал дифференциальных уравнений . 33 (3): 353–358. Бибкод : 1979JDE....33..353W . дои : 10.1016/0022-0396(79)90070-6 .
- ^ Рабиновиц, П. (1979). «Периодические решения гамильтоновой системы на заданной энергетической поверхности» . Журнал дифференциальных уравнений . 33 (3): 336–352. Бибкод : 1979JDE....33..336R . дои : 10.1016/0022-0396(79)90069-X .
- ^ Витербо, К. (1987). «Доказательство гипотезы Вайнштейна в " . Анналы Института Анри Пуанкаре (C) Нелинейный анализ . 4 (4): 337–356. Бибкод : 1987AIHPC...4..337V . doi : 10.1016/s0294-1449(16)30363-8 .
- ^ Хофер, Х.; Витербо, К. (1992). «Гипотеза Вайнштейна о наличии голоморфных сфер». Комм. Чистое приложение. Математика. 45 (5): 583–622. дои : 10.1002/cpa.3160450504 .
- ^ Хофер, Х. (1993). «Псевдоголоморфные кривые в симплектизациях с приложениями к гипотезе Вайнштейна в размерности три». Математические изобретения . 114 : 515–563. Бибкод : 1993InMat.114..515H . дои : 10.1007/BF01232679 . S2CID 123618375 .
- ^ Таубес, CH (2007). «Уравнения Зайберга-Виттена и гипотеза Вайнштейна». Геометрия и топология . 11 (4): 2117–2202. arXiv : math/0611007 . дои : 10.2140/gt.2007.11.2117 . S2CID 119680690 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гинзбург (2003). «Гипотеза Вайнштейна и теоремы близкого и почти существования». arXiv : math/0310330 .
- Хатчингс, М. (2010). «Доказательство Таубса гипотезы Вайнштейна в трехмерном измерении» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 47 (1): 73–125. arXiv : 0906.2444 . CiteSeerX 10.1.1.249.8129 . дои : 10.1090/S0273-0979-09-01282-8 . МР 2566446 . S2CID 12736780 .