Симплектоморфизм

В математике симплектоморфизм многообразий или отображение — изоморфизм в категории симплектических . симплектическое В классической механике симплектоморфизм представляет собой преобразование фазового пространства , сохраняющее объем и сохраняющее симплектическую структуру фазового пространства, и называется каноническим преобразованием .

Формальное определение

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ называется симплектоморфизмом, если

f^{*}\omega '=\omega ,

где $f^{*}$ это откат $f$ . Симплектические диффеоморфизмы из $M$ к $M$ являются (псевдо)группой, называемой группой симплектоморфизмов (см. ниже).

Инфинитезимальная версия симплектоморфизмов дает симплектические векторные поля. Векторное поле $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ называется симплектическим, если

{\mathcal {L}}_{X}\omega =0.

Также, $X$ является симплектическим, если поток $\phi _{t}:M\rightarrow M$ из $X$ является симплектоморфизмом для любого $t$ . Эти векторные поля образуют подалгебру Ли $\Gamma ^{\infty }(TM)$ . Здесь, $\Gamma ^{\infty }(TM)$ — множество гладких векторных полей на $M$ , и ${\mathcal {L}}_{X}$ — производная Ли вдоль векторного поля $X.$

Примеры симплектоморфизмов включают канонические преобразования классической механики и теоретической физики , поток, связанный с любой функцией Гамильтона, отображение на кокасательных расслоениях , индуцированных любым диффеоморфизмом многообразий, и коприсоединенное действие элемента группы Ли на коприсоединенной орбите .

Потоки

Любая гладкая функция на симплектическом многообразии по определению порождает гамильтоново векторное поле , а множество всех таких векторных полей образует подалгебру алгебры Ли симплектических векторных полей . Интегрирование потока симплектического векторного поля является симплектоморфизмом. Поскольку симплектоморфизмы сохраняют симплектическую 2-форму и, следовательно, симплектическую форму объема , отсюда следует теорема Лиувилля в гамильтоновой механике . Симплектоморфизмы, возникающие из гамильтоновых векторных полей, известны как гамильтоновы симплектоморфизмы.

Поскольку ${H, H} = X H (H) = 0,$ поток гамильтонова векторного поля также сохраняет $H$ . В физике это трактуется как закон сохранения энергии .

Если первое число Бетти связного симплектического многообразия равно нулю, симплектические и гамильтоновы векторные поля совпадают, поэтому понятия гамильтоновой изотопии и симплектической изотопии симплектоморфизмов совпадают.

Можно показать, что уравнения геодезической можно сформулировать как гамильтонов поток, см. « Геодезические как гамильтоновы потоки» .

Группа (гамильтоновых) симплектоморфизмов

Симплектоморфизмы многообразия обратно на себя образуют бесконечномерную псевдогруппу . Соответствующая алгебра Ли состоит из симплектических векторных полей. Гамильтоновы симплектоморфизмы образуют подгруппу, алгебра Ли которой задается гамильтоновыми векторными полями. Последняя изоморфна алгебре Ли гладких функции на многообразии относительно скобки Пуассона по модулю констант.

Группа гамильтоновых симплектоморфизмов $(M,\omega )$ обычно обозначается как $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ .

Группы гамильтоновых диффеоморфизмов просты по теореме Баньяги . ^[1] Они имеют естественную геометрию, заданную нормой Хофера . Гомотопический тип группы симплектоморфизмов для некоторых простых симплектических четырехмногообразий , таких как произведение сфер , может быть вычислен с использованием Громова теории псевдоголоморфных кривых .

Сравнение с римановой геометрией

В отличие от римановых многообразий , симплектические многообразия не очень жесткие: теорема Дарбу показывает, что все симплектические многообразия одной и той же размерности локально изоморфны. Напротив, изометрии в римановой геометрии должны сохранять тензор кривизны Римана , который, таким образом, является локальным инвариантом риманова многообразия. Более того, каждая функция H на симплектическом многообразии определяет гамильтоново векторное поле X _H , которое возводится в степень до однопараметрической группы гамильтоновых диффеоморфизмов. Отсюда следует, что группа симплектоморфизмов всегда очень велика и, в частности, бесконечномерна. С другой стороны, группа изометрий риманова многообразия всегда является (конечномерной) группой Ли . Более того, римановы многообразия с большими группами симметрии являются весьма специальными, а риманово многообразие общего положения не имеет нетривиальных симметрий.

Квантование

Представления конечномерных подгрупп группы симплектоморфизмов (вообще, после ħ-деформаций) в гильбертовых пространствах называются квантованиями . Когда группа Ли определяется гамильтонианом, это называется «квантованием по энергии». Соответствующий оператор из алгебры Ли в алгебру Ли непрерывных линейных операторов иногда называют также квантованием ; это более распространенный взгляд на это в физике.

Гипотеза Арнольда

Знаменитая гипотеза Владимира Арнольда связывает минимальное количество неподвижных точек гамильтонова симплектоморфизма. $\varphi :M\to M$ , в случае $M$ является компактным симплектическим многообразием по теории Морса (см. ^[2]). Точнее, гипотеза гласит, что $\varphi$ имеет по крайней мере столько же неподвижных точек, сколько критических точек имеет гладкая функция на $M$ должно быть. Была доказана некоторая более слабая версия этой гипотезы: когда $\varphi$ является «невырожденным», число неподвижных точек ограничено снизу суммой Бетти чисел $M$ (видеть, ^[3]^[4]). Самым важным достижением в симплектической геометрии, вызванным этой знаменитой гипотезой, является рождение гомологий Флоера (см. ^[5]), названный в честь Андреаса Флёра .

В популярной культуре

«Симплектоморфизм» — слово в кроссворде из 1 серии аниме «Семья Шпион» . ^[6]

См. также

Ссылки

^ Макдафф и Саламон 1998, Теорема 10.25.
^ Арнольд, Владимир (1978). Математические методы классической механики . Тексты для аспирантов по математике. Том. 60. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4757-1693-1 . ISBN 978-1-4757-1693-1 .
^ Фукая, Кенджи; Оно, Каору (сентябрь 1999 г.). «Гипотеза Арнольда и инварианты Громова-Виттена» . Топология . 38 (5): 933–1048. дои : 10.1016/S0040-9383(98)00042-1 .
^ Лю, Банда; Тиан, Банда (1998). «Гомологии Флоера и гипотеза Арнольда» . Журнал дифференциальной геометрии . 49 (1): 1–74. дои : 10.4310/jdg/1214460936 .
^ Флоер, Андреас (1989). «Симплектические неподвижные точки и голоморфные сферы» . Связь в математической физике . 120 (4): 575–611. дои : 10.1007/BF01260388 . S2CID 123345003 .
^ Аню удочерили . Коллекция Кранчиролл.

Общий

Макдафф, Дуса и Саламон, Д. (1998), Введение в симплектическую топологию , Оксфордские математические монографии, ISBN 0-19-850451-9 .
Абрахам, Ральф и Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 0-8053-0102-Х . См. раздел 3.2 .

Группы симплектоморфизмов

Громов, М. (1985), «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях», Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347, Bibcode : 1985InMat..82..307G , doi : 10.1007/BF01388806 , S2CID 4983969 .
Полтерович, Леонид (2001), Геометрия группы симплектического диффеоморфизма , Базель; Бостон: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7 .

[1] Макдафф и Саламон 1998, Теорема 10.25.

[2] Арнольд, Владимир (1978). Математические методы классической механики . Тексты для аспирантов по математике. Том. 60. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4757-1693-1 . ISBN 978-1-4757-1693-1 .

[3] Фукая, Кенджи; Оно, Каору (сентябрь 1999 г.). «Гипотеза Арнольда и инварианты Громова-Виттена» . Топология . 38 (5): 933–1048. дои : 10.1016/S0040-9383(98)00042-1 .

[4] Лю, Банда; Тиан, Банда (1998). «Гомологии Флоера и гипотеза Арнольда» . Журнал дифференциальной геометрии . 49 (1): 1–74. дои : 10.4310/jdg/1214460936 .

[5] Флоер, Андреас (1989). «Симплектические неподвижные точки и голоморфные сферы» . Связь в математической физике . 120 (4): 575–611. дои : 10.1007/BF01260388 . S2CID 123345003 .

[6] Аню удочерили . Коллекция Кранчиролл.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]