Относительная контактная гомология
В математике , в области симплектической топологии , относительная контактная гомология является инвариантом пространств вместе с выбранным подпространством. А именно, ему сопоставлено контактное многообразие и одно из его лежандровых подмногообразий . Это часть более общего инварианта, известного как симплектическая теория поля , и определяется с помощью псевдоголоморфных кривых .
Лежандровы узлы
[ редактировать ]Простейший случай дает инварианты лежандровых узлов внутри контактных трехмногообразий . Было показано, что относительная контактная гомология является строго более мощным инвариантом, чем «классические инварианты», а именно число Терстона-Беннекена и число вращения (внутри класса гладких узлов).
Юрий Чеканов разработал чисто комбинаторную версию относительной контактной гомологии лежандровых узлов, т.е. комбинаторно определенный инвариант, воспроизводящий результаты относительной контактной гомологии.
Тамаш Кальман разработал комбинаторный инвариант для петель лежандровых узлов, с помощью которого он обнаружил различия между фундаментальными группами пространства гладких узлов и пространства лежандровых узлов.
Лежандровые подмногообразия многомерности
[ редактировать ]В работе Ленхарда Нг относительное SFT используется для получения инвариантов гладких узлов: узел или звено внутри топологического трехмногообразия порождает лежандров тор внутри контактного пятимногообразия , состоящий из единичного конормального расслоения узлу. внутри единичного котагенса объемлющего трехмногообразия. Относительная СПФ этой пары представляет собой дифференциально-градуированную алгебру; Ng выводит мощный инвариант узла из комбинаторной версии части гомологии нулевой степени. Она имеет вид конечно определенной тензорной алгебры над некоторым кольцом полиномов Лорана от многих переменных с целыми коэффициентами. Этот инвариант присваивает различные инварианты (по крайней мере) узлам, имеющим не более десяти пересечений, и доминирует над полиномом Александера и A-полиномом (и, таким образом, отличает unknot ).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Ленхард Нг , Конормальные расслоения, контактные гомологии и инварианты узлов .
- Тобиас Экхольм, Джон Этнайр, Майкл Г. Салливан, Лежандровы подмногообразия в $R^{2n+1}$ и контактные гомологии .
- Юрий Чеканов, "Дифференциальная алгебра лежандровых зацеплений". Математические изобретения 150 (2002), стр. 441-483.
- Контактные гомологии и однопараметрические семейства лежандровых узлов Тамаша Калмана