Jump to content

Квантовые когомологии

В математике , особенно в симплектической топологии и алгебраической геометрии , квантовых когомологий кольцо расширением обычного кольца когомологий замкнутого является симплектического многообразия . Он поставляется в двух версиях: маленькой и большой ; как правило, последний сложнее и содержит больше информации, чем первый. В каждом случае выбор кольца коэффициентов (обычно кольца Новикова , описанного ниже) также существенно влияет на его структуру.

В то время как произведение чашек обычных когомологий описывает, как подмногообразия многообразия пересекаются друг с другом, произведение квантовых чашек квантовых когомологий описывает, как подпространства пересекаются «нечетким», «квантовым» способом. Точнее, они пересекаются, если соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми . Инварианты Громова–Виттена , которые учитывают эти кривые, появляются как коэффициенты в разложениях произведения квантовой чаши.

Поскольку квантовая когомология выражает структуру или образец инвариантов Громова–Виттена, она имеет важные последствия для перечислительной геометрии . Это также связано со многими идеями математической физики и зеркальной симметрии . В частности, оно кольцево изоморфно симплектическим гомологиям Флоера .

На протяжении всей статьи X — замкнутое симплектическое многообразие с симплектической формой ω.

различные варианты выбора кольца коэффициентов для квантовых когомологий X. Возможны Обычно выбирают кольцо, которое кодирует информацию гомологии X. о второй позволяет продукту квантовой чашки, определенному ниже, записывать информацию о псевдоголоморфных кривых в X. Это Например, пусть

быть второй гомологией модулю кручения по . Пусть R — любое коммутативное кольцо с единицей, а Λ — кольцо формальных степенных рядов вида

где

  • коэффициенты родом из Р ,
  • тот являются формальными переменными, подчиняющимися соотношению ,
  • для каждого действительного числа C только конечное число A с ω( A ) меньшим или равным C имеет ненулевые коэффициенты .

Переменная считается имеющим степень , где является первым классом Чженя касательного расслоения TX , рассматриваемого как комплексное векторное расслоение путем выбора любой почти комплексной структуры, совместимой с ω. Таким образом, Λ — градуированное кольцо, называемое кольцом Новикова для ω. (Альтернативные определения распространены.)

Малые квантовые когомологии

[ редактировать ]

Позволять

— когомологии X по модулю кручения. Определим малые квантовые когомологии с коэффициентами из Λ как

Его элементы представляют собой конечные суммы вида

Малые квантовые когомологии представляют собой градуированный R -модуль с

Обыкновенные когомологии H *( X ) вкладываются в QH *( X , Λ) посредством , а QH *( X , Λ) порождается как Λ-модуль H *( X ).

Для любых двух классов когомологий a , b в H *( X ) чистой степени и для любого A в , определим ( a b ) A как единственный элемент H *( X ) такой, что

(Правая часть представляет собой 3-точечный инвариант Громова – Виттена рода 0.) Затем определим

По линейности это распространяется на корректно определенное Λ-билинейное отображение

называется продуктом «малая квантовая чашка» .

Геометрическая интерпретация

[ редактировать ]

Единственными псевдоголоморфными кривыми в классе A = 0 являются постоянные отображения, образами которых являются точки. Отсюда следует, что

другими словами,

Таким образом, продукт квантовой чашки содержит обычный продукт чашки; расширяет обычный стаканчик до ненулевых классов A. он

В общем, двойственный Пуанкаре к ( a b ) A соответствует пространству псевдоголоморфных кривых класса A, проходящих через двойственные Пуанкаре к a и b . Таким образом, в то время как обычные когомологии считают, что a и b пересекаются только тогда, когда они встречаются в одной или нескольких точках, квантовые когомологии фиксируют ненулевое пересечение для a и b всякий раз, когда они соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми. Кольцо Новикова просто обеспечивает достаточно большую систему учета, чтобы записывать информацию о пересечении для всех A. классов

Пусть X — комплексная проективная плоскость со стандартной симплектической формой (соответствующей метрике Фубини–Студи ) и комплексной структурой. Позволять быть двойственным Пуанкаре прямой L . Затем

Единственными ненулевыми инвариантами Громова–Виттена являются инварианты класса A = 0 или A = L . Оказывается,

и

где δ — дельта Кронекера . Поэтому,

В этом случае удобно переименовать в качестве q и используйте более простое кольцо коэффициентов Z [ q ]. Это q имеет степень . Затем

Свойства продукта из маленькой квантовой чашки

[ редактировать ]

Для a , b чистой степени,

и

Произведение малых квантовых чашек дистрибутивно и Λ-билинейно. Элемент идентификации также является единичным элементом для малых квантовых когомологий.

Маленькое произведение квантовой чашки также ассоциативно . Это следствие закона склейки инвариантов Громова–Виттена, сложный технический результат. Это равносильно тому, что потенциал Громова–Виттена ( производящая функция для инвариантов Громова–Виттена рода 0) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению третьего порядка, известному как уравнение ВДВВ .

Пара пересечений

определяется

(Индексы 0 обозначают коэффициент A = 0.) Это спаривание удовлетворяет свойству ассоциативности.

Дубровинская связь

[ редактировать ]

Когда базовым кольцом R является C , можно рассматривать равномерно градуированную часть H векторного пространства QH *( X , Λ) как комплексное многообразие. Небольшое произведение квантовой чаши ограничивается четко определенным коммутативным произведением на H . При мягких предположениях H с парой пересечений тогда является алгеброй Фробениуса .

Произведение квантовой чашки можно рассматривать как связность на касательном расслоении TH , называемую связностью Дубровина . Тогда коммутативность и ассоциативность произведения квантовой чашки соответствуют условиям нулевого кручения и нулевой кривизны в этой связи.

Большие квантовые когомологии

[ редактировать ]

Существует окрестность U точки 0 ∈ H такая, что и связность Дубровина придают U структуру многообразия Фробениуса . Любой a в U определяет произведение квантовой чашки.

по формуле

В совокупности эти произведения на H называются большими квантовыми когомологиями . Из него восстанавливаются все инварианты Громова – Виттена рода 0; в общем, то же самое нельзя сказать о более простых малых квантовых когомологиях.

Малые квантовые когомологии содержат информацию только о 3-точечных инвариантах Громова–Виттена, но большие квантовые когомологии имеют все (n ⩾ 4) n-точечные инварианты Громова–Виттена. Чтобы получить перечислительную геометрическую информацию для некоторых многообразий, нам необходимо использовать большие квантовые когомологии. Малые квантовые когомологии будут соответствовать 3-точечным корреляционным функциям в физике, тогда как большие квантовые когомологии будут соответствовать всем n-точечным корреляционным функциям.

  • Макдафф, Дуса и Саламон, Дитмар (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN   0-8218-3485-1 .
  • Фултон, В; Пандхарипанде, Р. (1996). «Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях». arXiv : alg-geom/9608011 .
  • Пюнихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Матиас (1996). Симплектическая теория Флоера–Дональдсона и квантовые когомологии. В CB Thomas (ред.), Контактная и симплектическая геометрия , стр. 171–200. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-57086-7
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b62624dc0e7084a13c5185ccbcfbba8e__1710792840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b6/8e/b62624dc0e7084a13c5185ccbcfbba8e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quantum cohomology - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)