Квантовые когомологии
В математике , особенно в симплектической топологии и алгебраической геометрии , квантовых когомологий кольцо расширением обычного кольца когомологий замкнутого является симплектического многообразия . Он поставляется в двух версиях: маленькой и большой ; как правило, последний сложнее и содержит больше информации, чем первый. В каждом случае выбор кольца коэффициентов (обычно кольца Новикова , описанного ниже) также существенно влияет на его структуру.
В то время как произведение чашек обычных когомологий описывает, как подмногообразия многообразия пересекаются друг с другом, произведение квантовых чашек квантовых когомологий описывает, как подпространства пересекаются «нечетким», «квантовым» способом. Точнее, они пересекаются, если соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми . Инварианты Громова–Виттена , которые учитывают эти кривые, появляются как коэффициенты в разложениях произведения квантовой чаши.
Поскольку квантовая когомология выражает структуру или образец инвариантов Громова–Виттена, она имеет важные последствия для перечислительной геометрии . Это также связано со многими идеями математической физики и зеркальной симметрии . В частности, оно кольцево изоморфно симплектическим гомологиям Флоера .
На протяжении всей статьи X — замкнутое симплектическое многообразие с симплектической формой ω.
Novikov ring
[ редактировать ]различные варианты выбора кольца коэффициентов для квантовых когомологий X. Возможны Обычно выбирают кольцо, которое кодирует информацию гомологии X. о второй позволяет продукту квантовой чашки, определенному ниже, записывать информацию о псевдоголоморфных кривых в X. Это Например, пусть
быть второй гомологией модулю кручения по . Пусть R — любое коммутативное кольцо с единицей, а Λ — кольцо формальных степенных рядов вида
где
- коэффициенты родом из Р ,
- тот являются формальными переменными, подчиняющимися соотношению ,
- для каждого действительного числа C только конечное число A с ω( A ) меньшим или равным C имеет ненулевые коэффициенты .
Переменная считается имеющим степень , где является первым классом Чженя касательного расслоения TX , рассматриваемого как комплексное векторное расслоение путем выбора любой почти комплексной структуры, совместимой с ω. Таким образом, Λ — градуированное кольцо, называемое кольцом Новикова для ω. (Альтернативные определения распространены.)
Малые квантовые когомологии
[ редактировать ]Позволять
— когомологии X по модулю кручения. Определим малые квантовые когомологии с коэффициентами из Λ как
Его элементы представляют собой конечные суммы вида
Малые квантовые когомологии представляют собой градуированный R -модуль с
Обыкновенные когомологии H *( X ) вкладываются в QH *( X , Λ) посредством , а QH *( X , Λ) порождается как Λ-модуль H *( X ).
Для любых двух классов когомологий a , b в H *( X ) чистой степени и для любого A в , определим ( a ∗ b ) A как единственный элемент H *( X ) такой, что
(Правая часть представляет собой 3-точечный инвариант Громова – Виттена рода 0.) Затем определим
По линейности это распространяется на корректно определенное Λ-билинейное отображение
называется продуктом «малая квантовая чашка» .
Геометрическая интерпретация
[ редактировать ]Единственными псевдоголоморфными кривыми в классе A = 0 являются постоянные отображения, образами которых являются точки. Отсюда следует, что
другими словами,
Таким образом, продукт квантовой чашки содержит обычный продукт чашки; расширяет обычный стаканчик до ненулевых классов A. он
В общем, двойственный Пуанкаре к ( a ∗ b ) A соответствует пространству псевдоголоморфных кривых класса A, проходящих через двойственные Пуанкаре к a и b . Таким образом, в то время как обычные когомологии считают, что a и b пересекаются только тогда, когда они встречаются в одной или нескольких точках, квантовые когомологии фиксируют ненулевое пересечение для a и b всякий раз, когда они соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми. Кольцо Новикова просто обеспечивает достаточно большую систему учета, чтобы записывать информацию о пересечении для всех A. классов
Пример
[ редактировать ]Пусть X — комплексная проективная плоскость со стандартной симплектической формой (соответствующей метрике Фубини–Студи ) и комплексной структурой. Позволять быть двойственным Пуанкаре прямой L . Затем
Единственными ненулевыми инвариантами Громова–Виттена являются инварианты класса A = 0 или A = L . Оказывается,
и
где δ — дельта Кронекера . Поэтому,
В этом случае удобно переименовать в качестве q и используйте более простое кольцо коэффициентов Z [ q ]. Это q имеет степень . Затем
Свойства продукта из маленькой квантовой чашки
[ редактировать ]Для a , b чистой степени,
и
Произведение малых квантовых чашек дистрибутивно и Λ-билинейно. Элемент идентификации также является единичным элементом для малых квантовых когомологий.
Маленькое произведение квантовой чашки также ассоциативно . Это следствие закона склейки инвариантов Громова–Виттена, сложный технический результат. Это равносильно тому, что потенциал Громова–Виттена ( производящая функция для инвариантов Громова–Виттена рода 0) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению третьего порядка, известному как уравнение ВДВВ .
Пара пересечений
определяется
(Индексы 0 обозначают коэффициент A = 0.) Это спаривание удовлетворяет свойству ассоциативности.
Дубровинская связь
[ редактировать ]Когда базовым кольцом R является C , можно рассматривать равномерно градуированную часть H векторного пространства QH *( X , Λ) как комплексное многообразие. Небольшое произведение квантовой чаши ограничивается четко определенным коммутативным произведением на H . При мягких предположениях H с парой пересечений тогда является алгеброй Фробениуса .
Произведение квантовой чашки можно рассматривать как связность на касательном расслоении TH , называемую связностью Дубровина . Тогда коммутативность и ассоциативность произведения квантовой чашки соответствуют условиям нулевого кручения и нулевой кривизны в этой связи.
Большие квантовые когомологии
[ редактировать ]Существует окрестность U точки 0 ∈ H такая, что и связность Дубровина придают U структуру многообразия Фробениуса . Любой a в U определяет произведение квантовой чашки.
по формуле
В совокупности эти произведения на H называются большими квантовыми когомологиями . Из него восстанавливаются все инварианты Громова – Виттена рода 0; в общем, то же самое нельзя сказать о более простых малых квантовых когомологиях.
Малые квантовые когомологии содержат информацию только о 3-точечных инвариантах Громова–Виттена, но большие квантовые когомологии имеют все (n ⩾ 4) n-точечные инварианты Громова–Виттена. Чтобы получить перечислительную геометрическую информацию для некоторых многообразий, нам необходимо использовать большие квантовые когомологии. Малые квантовые когомологии будут соответствовать 3-точечным корреляционным функциям в физике, тогда как большие квантовые когомологии будут соответствовать всем n-точечным корреляционным функциям.
Ссылки
[ редактировать ]- Макдафф, Дуса и Саламон, Дитмар (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 0-8218-3485-1 .
- Фултон, В; Пандхарипанде, Р. (1996). «Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях». arXiv : alg-geom/9608011 .
- Пюнихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Матиас (1996). Симплектическая теория Флоера–Дональдсона и квантовые когомологии. В CB Thomas (ред.), Контактная и симплектическая геометрия , стр. 171–200. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57086-7