Псевдоголоморфная кривая

В математике , особенно в топологии и геометрии , псевдоголоморфная кривая (или J -голоморфная кривая ) — это гладкое отображение римановой поверхности в почти комплексное многообразие , удовлетворяющее уравнению Коши–Римана . Псевдоголоморфные кривые, введенные в 1985 году Михаилом Громовым , произвели революцию в изучении симплектических многообразий . В частности, они приводят к инвариантам Громова-Виттена и гомологиям Флоера и играют заметную роль в теории струн .

Определение

Позволять $X$ быть почти комплексным многообразием с почти сложной структурой $J$. Позволять $C$ — гладкая риманова поверхность (также называемая комплексной кривой ) со сложной структурой $j$. Псевдоголоморфная кривая в $X$ это карта $f:C\to X$ удовлетворяющее уравнению Коши–Римана

${\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.$

С $J^{2}=-1$, это условие эквивалентно

$J\circ df=df\circ j,$

что просто означает, что дифференциал $df$ является комплексно-линейным, т.е. $J$ отображает каждое касательное пространство

$T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X$

самому себе. По техническим причинам часто предпочтительнее ввести какой-то неоднородный термин. $\nu$ и изучить отображения, удовлетворяющие возмущенному уравнению Коши–Римана

${\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .$

Псевдоголоморфную кривую, удовлетворяющую этому уравнению, можно назвать, более конкретно, $(j,J,\nu )$-голоморфная кривая . Возмущение $\nu$ иногда предполагается, что оно порождается гамильтонианом ( особенно в теории Флоера), но в общем случае это не обязательно.

Псевдоголоморфная кривая по своему определению всегда параметризована. В приложениях часто действительно интересуются непараметризованными кривыми, то есть вложенными (или погруженными) двумя подмногообразиями $X$, поэтому можно отказаться от него путем репараметризации области, сохраняющей соответствующую структуру. Например, в случае инвариантов Громова–Виттена мы рассматриваем только замкнутые области $C$ фиксированного рода $g$ и мы представляем $n$ отмеченные точки (или проколы ) на $C$. Как только проколотая эйлерова характеристика $2-2g-n$ отрицательно, существует лишь конечное число голоморфных репараметризаций $C$ сохраняющие отмеченные точки. Кривая домена $C$ является элементом пространства модулей кривых Делиня–Мамфорда .

Аналогия с классическими уравнениями Коши–Римана.

Классический случай имеет место, когда $X$ и $C$ оба являются просто плоскостью комплексных чисел . В реальных координатах

$j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},$

и

$df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},$

где $f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$. Перемножив эти матрицы в двух разных порядках, сразу видно, что уравнение

$J\circ df=df\circ j$

написанное выше эквивалентно классическим уравнениям Коши–Римана

${\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}$

Приложения в симплектической топологии

Хотя псевдоголоморфные кривые можно определить для любого почти комплексного многообразия, они особенно интересны, когда $J$ взаимодействует с симплектической формой $\omega$. Почти сложная структура $J$ Говорят, что это $\omega$-приручить тогда и только тогда, когда

$\omega (v,Jv)>0$

для всех ненулевых касательных векторов $v$. Прирученность означает, что формула

$(v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)$

определяет риманову метрику на $X$. Громов показал, что для данного $\omega$, пространство $\omega$-приручить $J$ непусто и сжимаемо . Он использовал эту теорию для доказательства теоремы о несжатии , касающейся симплектического вложения сфер в цилиндры.

Громов показал, что некоторые пространства модулей псевдоголоморфных кривых (удовлетворяющие дополнительным указанным условиям) компактны , и описал способ вырождения псевдоголоморфных кривых, когда предполагается только конечная энергия. (Условие конечной энергии особенно справедливо для кривых с фиксированным классом гомологии в симплектическом многообразии, где J $\omega$-приручить или $\omega$-совместимый). Эта теорема о компактности Громова , теперь значительно обобщенная с использованием стабильных отображений , делает возможным определение инвариантов Громова – Виттена, которые учитывают псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях.

Компактные пространства модулей псевдоголоморфных кривых также используются для построения гомологий Флоера , которые Андреас Флоер (и более поздние авторы, в большей общности) использовали для доказательства знаменитой гипотезы Владимира Арнольда о количестве неподвижных точек гамильтоновых потоков .

Приложения в физике

В теории струн типа II рассматриваются поверхности, очерченные струнами, когда они движутся по путям в Калаби – Яу трехмерном многообразии . Следуя интеграле по путям об формулировке квантовой механики , хочется вычислить определенные интегралы по пространству всех таких поверхностей. Поскольку такое пространство бесконечномерно, эти интегралы по путям в целом математически не определены. Однако при A-повороте можно сделать вывод, что поверхности параметризованы псевдоголоморфными кривыми, и поэтому интегралы по путям сводятся к интегралам по пространствам модулей псевдоголоморфных кривых (или, скорее, устойчивых отображений), которые являются конечномерными. Например, в теории струн IIA замкнутого типа эти интегралы представляют собой в точности инварианты Громова – Виттена .

См. также

• Голоморфная кривая

Ссылки

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон , J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004. ISBN   0-8218-3485-1 .
• Михаил Леонидович Громов , Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, стр. 307-347.
• Дональдсон, Саймон К. (октябрь 2005 г.). «Что такое… псевдоголоморфная кривая?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 52 (9): 1026–1027 . Проверено 17 января 2008 г.