Теорема о несжатии

Теорема о несжимании , называемая также теоремой Громова о несжимании , является одной из важнейших теорем симплектической геометрии . Впервые это было доказано в 1985 году Михаилом Громовым . Теорема утверждает, что невозможно вложить шар в цилиндр с помощью симплектического отображения , если радиус шара не меньше или равен радиусу цилиндра. Теорема важна, потому что раньше было очень мало известно о геометрии симплектических отображений.Одним из простых следствий симплектического преобразования является то, что оно сохраняет объем . Шарик любого радиуса можно легко встроить в цилиндр любого другого радиуса с помощью преобразования , сохраняющего объем : просто представьте, как втискивается шарик в цилиндр (отсюда и название «теорема о несжатии»). Таким образом, теорема о несжатии говорит нам, что, хотя симплектические преобразования сохраняют объем, для преобразования гораздо более ограничительно быть симплектическим, чем сохранять объем.

Предыстория и заявление

Рассмотрим симплектические пространства

$\mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},$

$B^{2n}(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<r\},$

$Z^{2n}(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<R^{2}\},$

каждый наделен симплектической формой

$\omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.$

Пространство $B^{2n}(r)$ называется шаром радиуса $r$ и $Z^{2n}(R)$ называется цилиндром радиуса $R$. Выбор осей цилиндра не является произвольным, учитывая фиксированную симплектическую форму, указанную выше; каждая окружность цилиндра лежит в симплектическом подпространстве $\mathbb {R} ^{2n}$.

Если $(M,\eta )$ и $(N,\nu )$ являются симплектическим многообразиями, симплектическим вложением $\varphi :(M,\eta )\to (N,\nu )$ это гладкое вложение $\varphi :M\to N$ такой, что $\varphi ^{*}\nu =\eta$. Для $r\leq R$, имеет место симплектическое вложение $B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)$ что занимает $x\in B^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}$ в ту же точку $x\in Z^{2n}(R)\subset \mathbb {R} ^{2n}$.

Теорема Громова о несжатии гласит, что если существует симплектическое вложение $\varphi :B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)$, затем $r\leq R$.

Симплектические способности

Симплектическая емкость – это отображение $c:\{{\text{symplectic manifolds}}\}\to [0,\infty ]$ удовлетворяющий

1. (Монотонность) Если существует симплектическое вложение $(M,\omega )\to (N,\eta )$ и $\dim M=\dim N$, затем $c(M,\omega )\leq c(N,\eta )$,
2. (Конформность) $c(M,\lambda \omega )=\lambda c(M,\omega )$,
3. (Нетривиальность) $c(B^{2n}(1))>0$ и $c(Z^{2n}(1))<\infty$.

Существование симплектической емкости, удовлетворяющей

$c(B^{2n}(1))=c(Z^{2n}(1))=\pi$

эквивалентна теореме Громова о несжимании. Учитывая такую ​​емкость, можно проверить теорему о несжимании, а с учетом теоремы о несжимании - ширину Громова

$w_{G}(M,\omega )=\sup\{\pi r^{2}:{\text{there exists a symplectic embedding }}B^{2n}(r)\to (M,\omega )\}$

это такая способность.

«Симплектический верблюд»

Теорема Громова о несжимании также стала известна как принцип симплектического верблюда, поскольку Ян Стюарт ссылался на нее, ссылаясь на притчу о верблюде и игольном ушке . Как утверждает Морис А. де Госсон :

Почему же в названии статьи мы упоминаем симплектического верблюда? Это потому, что можно переформулировать теорему Громова следующим образом: невозможно деформировать фазового пространства шар с помощью канонических преобразований так, чтобы мы могли заставить его пройти через отверстие в плоскости сопряженных координат. $x_{j}$ , $p_{j}$ если площадь этого отверстия меньше площади поперечного сечения этого шара.

- Морис А. де Госсон, Симплектический верблюд и принцип неопределенности: верхушка айсберга?

Сходным образом:

Интуитивно понятно, что объем в фазовом пространстве не может быть растянут относительно одной конкретной симплектической плоскости больше, чем позволяет его «симплектическая ширина». Другими словами, невозможно втиснуть симплектического верблюда в игольное ушко, если игла достаточно мала. Это очень мощный результат, который тесно связан с гамильтоновой природой системы и является совершенно другим результатом, чем теорема Лиувилля , которая интересует только общий объем и не накладывает никаких ограничений на форму .

- Андреа Ченси, Симплектические верблюды и анализ неопределенности

Дальнейшая работа

Де Госсон показал, что теорема о несжатии тесно связана с неравенством Робертсона-Шредингера-Гейзенберга , обобщением соотношения неопределенностей Гейзенберга . Неравенство Робертсона -Шредингера-Гейзенберга гласит, что:

$\operatorname {var} (Q)\operatorname {var} (P)\geq \operatorname {cov} ^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}$

где Q и P — канонические координаты , а var и cov — функции дисперсии и ковариации.

Дальнейшее чтение

• Морис А. де Госсон : Симплектическое яйцо , arXiv:1208.5969v1 , представленное 29 августа 2012 г., включает доказательство варианта теоремы для случая линейных канонических преобразований.
• Дуса МакДафф : Что такое симплектическая геометрия? , 2009 г.