Карта продолжения

В дифференциальной топологии по семейству функций Морса-Смейла на гладком многообразии X, параметризованном замкнутым интервалом I , можно построить Морса-Смейла векторное поле на X × I, которого критические точки встречаются только на границе . Дифференциал Морса определяет цепную карту из комплексов Морса на границах семейства, карту продолжения . Можно показать, что это сводится к изоморфизму , гомологий Морса доказывая его инвариантность гомологий Морса гладкого многообразия.

Отображения продолжения были определены Андреасом Флоером для доказательства инвариантности гомологий Флоера в бесконечномерных аналогах ситуации, описанной выше; в случае конечномерной теории Морса инвариантность можно доказать, доказав, что гомологии Морса изоморфны сингулярным гомологиям , которые, как известно, инвариантны. Однако гомологии Флоера не всегда изоморфны знакомому инварианту, поэтому карты продолжения дают априорное доказательство инвариантности.

В конечномерной теории Морса разные варианты построения векторного поля на X × I приводят к различным, но цепным гомотопическим отображениям и, таким образом, сводятся к одному и тому же изоморфизму гомологии. Однако в некоторых бесконечномерных случаях это не так, и эти методы могут использоваться для создания инвариантов однопараметрических семейств объектов (таких как контактные структуры или лежандровы узлы ).

Ссылки

• Конспект лекций по гомологиям Морса (включая отображения продолжения в конечномерной теории) Майкла Хатчингса.
• Контактные гомологии и гомотопические группы пространства контактных структур Фредерика Буржуа
• Контактные гомологии и однопараметрические семейства лежандровых узлов Тамаша Калмана
• Гомологии Флоера семейств I, Майкл Хатчингс.