Градиентное векторное поле

В дифференциальной топологии , математической дисциплине, и, более конкретно, в теории Морса , градиентное векторное поле является обобщением градиентного векторного поля .

Основная мотивация — использование технического инструмента при построении функций Морса , чтобы показать, что можно построить функцию, критические точки которой находятся на разных уровнях. Сначала строится функция Морса, затем используются градиентные векторные поля для перемещения вокруг критических точек, что дает другую функцию Морса.

Определение

Учитывая функцию Морса f на многообразии M, градиентное векторное поле X для функции f , неформально, представляет собой:

• вдали от критических точек, X указывает «в том же направлении, что и» градиент f , и
• вблизи критической точки (в окрестности критической точки) он равен градиенту f, когда f записано в стандартной форме, заданной в леммах Морса .

Формально:

• вдали от критических точек, $X\cdot f>0,$
• вокруг каждой критической точки существует окрестность, в которой f задано, как в леммах Морса:

$f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

и на котором X равен градиенту f.

Динамическая система

Соответствующая динамическая система градиентно-подобного векторного поля — градиентно-подобная динамическая система — является частным случаем системы Морса-Смейла .

Ссылки

• Введение в теорию Морса, Юкио Мацумото, 2002, раздел 2.3: Градиентноподобные векторные поля, с. 56–69
• Градиентные векторные поля существуют. Архивировано 26 марта 2012 г. на Wayback Machine , 25 сентября 2009 г.