Функция округления

Эта статья о топологической функции. Информацию об арифметической функции см. в разделе Округление . Информацию о компоненте шифрования см. в разделе Раунд (криптография) .

В топологии и исчислении круглая функция является скалярной функцией. $M\to {\mathbb {R} }$, над многообразием $M$ которого , критические точки образуют одну или несколько связности , каждая из которых гомеоморфна окружности компонент $S^{1}$, также называемые критическими циклами. Они являются частными случаями функций Морса-Ботта .

Черный кружок в одной из этих критических петель.

Например

Например, пусть $M$ быть тором . Позволять

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,$

Тогда мы знаем, что карта

$X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}\,$

данный

$X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,$

является параметризацией почти всех $M$. Теперь через проекцию $\pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }$мы получаем ограничение

$G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,$

$G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta$ — функция, критические множества которой определяются формулой

${\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0),\,$

это тогда и только тогда, когда $\theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}$.

Эти два значения для $\theta$ дайте критические наборы

$X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,$

$X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,$

которые представляют собой две экстремальные окружности над тором $M$.

Обратите внимание, что гессиан для этой функции равен

${\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}$

что ясно проявляет себя как ранг ${\rm {hess}}(G)$ равен одному в отмеченных кругах, что приводит к вырождению критической точки, то есть показывает, что критические точки не изолированы.

Сложность раунда

Подражая теории категорий L – S, можно определить сложность раунда, спрашивая, существуют ли круглые функции на многообразиях и/или минимальное количество критических петель.

Ссылки

• Сиерсма и Химшиасвили, О минимальных раундовых функциях , Препринт 1118, факультет математики, Утрехтский университет, 1999, стр. 18. [1] . Обновление на [2]